Algèbre Exemples

$(\frac{6}{5} + \frac{3}{5} \cdot i) (\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot i)$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $i$ .

$(\frac{6}{5} + \frac{3 i}{5}) (\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot i)$

Étape 1.2

Associez $i$ et $\frac{1}{3}$ .

$(\frac{6}{5} + \frac{3 i}{5}) (\frac{2}{3} - \frac{i}{3})$

Étape 2

Développez $(\frac{6}{5} + \frac{3 i}{5}) (\frac{2}{3} - \frac{i}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6}{5} (\frac{2}{3} - \frac{i}{3}) + \frac{3 i}{5} (\frac{2}{3} - \frac{i}{3})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{6}{5} (- \frac{i}{3}) + \frac{3 i}{5} (\frac{2}{3} - \frac{i}{3})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{6}{5} (- \frac{i}{3}) + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (2)}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{6}{5} (- \frac{i}{3}) + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{6}{5} (- \frac{i}{3}) + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5} \cdot 2 + \frac{6}{5} (- \frac{i}{3}) + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.2

Associez $\frac{2}{5}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{5} + \frac{6}{5} (- \frac{i}{3}) + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{5} + \frac{6}{5} (- \frac{i}{3}) + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{i}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{4}{5} + \frac{6}{5} \cdot \frac{- i}{3} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{4}{5} + \frac{3 (2)}{5} \cdot \frac{- i}{3} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5} + \frac{3 \cdot 2}{5} \cdot \frac{- i}{3} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{5} + \frac{2}{5} (- i) + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.5

Associez $\frac{2}{5}$ et $i$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 i$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{3 (i)}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i}{5} \cdot 2 + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.7

Associez $\frac{i}{5}$ et $2$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i \cdot 2}{5} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.8

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{3 i}{5} (- \frac{i}{3})$

Étape 3.1.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{i}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{- i}{3}$

Étape 3.1.9.2

Factorisez $3$ à partir de $3 i$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{3 (i)}{5} \cdot \frac{- i}{3}$

Étape 3.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{- i}{3}$

Étape 3.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{i}{5} (- i)$

Étape 3.1.10

Associez $\frac{i}{5}$ et $i$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{i i}{5}$

Étape 3.1.11

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{i^{1} i}{5}$

Étape 3.1.12

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{i^{1} i^{1}}{5}$

Étape 3.1.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{i^{1 + 1}}{5}$

Étape 3.1.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{i^{2}}{5}$

Étape 3.1.15

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} - \frac{- 1}{5}$

Étape 3.1.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} - - \frac{1}{5}$

Étape 3.1.17

Multipliez $- - \frac{1}{5}$ .

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Étape 3.1.17.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} + 1 (\frac{1}{5})$

Étape 3.1.17.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{4}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} + \frac{1}{5}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 + 1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5}$

Étape 3.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{5}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5}$

Étape 3.4

Additionnez $- \frac{2 i}{5}$ et $\frac{2 i}{5}$ .

$\frac{5}{5} + 0$

Étape 3.5

Additionnez $\frac{5}{5}$ et $0$ .

$\frac{5}{5}$

Étape 4

Divisez $5$ par $5$ .

$1$