Algèbre Exemples

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) = \ln (5 x) - \ln (x - 2)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) = \ln (\frac{5 x}{x - 2})$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2})$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x^{2}) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 7}) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Étape 3.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{2 x - 7}}{\frac{5 x}{x - 2}}) = 0$

Étape 3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5 x}) = 0$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5 x}) = 0$

Étape 3.1.5.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 5}) = 0$

Étape 3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 5}) = 0$

Étape 3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5}) = 0$

Étape 3.1.6

Multipliez $\frac{x}{2 x - 7}$ par $\frac{x - 2}{5}$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{(2 x - 7) \cdot 5}) = 0$

Étape 3.1.7

Déplacez $5$ à gauche de $2 x - 7$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}) = 0$

Étape 4

Réécrivez $\ln (\frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}$

Étape 5

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x (x - 2) = e^{0} (5 (2 x - 7))$

Étape 6

Simplifiez $e^{0} (5 (2 x - 7))$ .

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x (x - 2) = 1 (5 (2 x - 7))$

Étape 6.1.2

Multipliez $5 (2 x - 7)$ par $1$ .

$x (x - 2) = 5 (2 x - 7)$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 2) = 5 (2 x) + 5 \cdot - 7$

Étape 6.3

Multipliez.

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$x (x - 2) = 10 x + 5 \cdot - 7$

Étape 6.3.2

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$x (x - 2) = 10 x - 35$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $10 x$ des deux côtés de l’équation.

$x (x - 2) - 10 x = - 35$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 10 x = - 35$

Étape 7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 10 x = - 35$

Étape 7.2.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 2 x - 10 x = - 35$

Étape 7.3

Soustrayez $10 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 12 x = - 35$

Étape 8

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 12 x$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 12 x = - 35$

Étape 8.2

Factorisez $x$ à partir de $- 12 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 12 = - 35$

Étape 8.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 12$ .

$x (x - 12) = - 35$

Étape 9

Simplifiez $x (x - 12)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 12 = - 35$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 12 = - 35$

Étape 9.2.2

Déplacez $- 12$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 12 x = - 35$

Étape 10

Ajoutez $35$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 12 x + 35 = 0$

Étape 11

Factorisez $x^{2} - 12 x + 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 11.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $35$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 7, - 5$

Étape 11.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x - 5) = 0$

Étape 12

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 13

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 14

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 7, 5$