Algèbre Exemples

$4 y = \frac{3}{x^{2} + 2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3}{x^{2} + 2} = 4 y$ .

$\frac{3}{x^{2} + 2} = 4 y$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2} + 2, 1$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} + 2, 1$

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2} + 2$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3}{x^{2} + 2} = 4 y$ par $x^{2} + 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3}{x^{2} + 2} = 4 y$ par $x^{2} + 2$ .

$\frac{3}{x^{2} + 2} (x^{2} + 2) = 4 y (x^{2} + 2)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x^{2} + 2} (x^{2} + 2) = 4 y (x^{2} + 2)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 = 4 y (x^{2} + 2)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 = 4 y x^{2} + 4 y \cdot 2$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$3 = 4 y x^{2} + 8 y$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $4 y x^{2} + 8 y = 3$ .

$4 y x^{2} + 8 y = 3$

Étape 4.2

Soustrayez $8 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 y x^{2} = 3 - 8 y$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $4 y x^{2} = 3 - 8 y$ par $4 y$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y x^{2} = 3 - 8 y$ par $4 y$ .

$\frac{4 y x^{2}}{4 y} = \frac{3}{4 y} + \frac{- 8 y}{4 y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y x^{2}}{4 y} = \frac{3}{4 y} + \frac{- 8 y}{4 y}$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{3}{4 y} + \frac{- 8 y}{4 y}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{3}{4 y} + \frac{- 8 y}{4 y}$

Étape 4.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{4 y} + \frac{- 8 y}{4 y}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 4.3.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 y$ .

$x^{2} = \frac{3}{4 y} + \frac{4 (- 2 y)}{4 y}$

Étape 4.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y$ .

$x^{2} = \frac{3}{4 y} + \frac{4 (- 2 y)}{4 (y)}$

Étape 4.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{3}{4 y} + \frac{4 (- 2 y)}{4 y}$

Étape 4.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{3}{4 y} + \frac{- 2 y}{y}$

Étape 4.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{3}{4 y} + \frac{- 2 y}{y}$

Étape 4.3.3.1.2.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{4 y} - 2$

Étape 4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4 y} - 2}$

Étape 4.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4 y} - 2}$ .

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Étape 4.5.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 y}{4 y}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4 y} - 2 \cdot \frac{4 y}{4 y}}$

Étape 4.5.2

Associez $- 2$ et $\frac{4 y}{4 y}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4 y} + \frac{- 2 (4 y)}{4 y}}$

Étape 4.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 - 2 (4 y)}{4 y}}$

Étape 4.5.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{3 - 8 y}{4 y}}$

Étape 4.5.5

Réécrivez $\frac{3 - 8 y}{4 y}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3 - 8 y}{y}$ .

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Étape 4.5.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $3 - 8 y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 - 8 y)}{4 y}}$

Étape 4.5.5.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4 y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 - 8 y)}{2^{2} y}}$

Étape 4.5.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (3 - 8 y)}{2^{2} y}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{3 - 8 y}{y}}$

Étape 4.5.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 - 8 y}{y}}$

Étape 4.5.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{3 - 8 y}{y}}$ comme $\frac{\sqrt{3 - 8 y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y}}{\sqrt{y}}$

Étape 4.5.8

Multipliez $\frac{\sqrt{3 - 8 y}}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3 - 8 y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})$

Étape 4.5.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.9.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3 - 8 y}}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Étape 4.5.9.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Étape 4.5.9.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Étape 4.5.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Étape 4.5.9.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 4.5.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Étape 4.5.9.6.5

Simplifiez

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3 - 8 y} \sqrt{y}}{y}$

Étape 4.5.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{(3 - 8 y) y}}{y}$

Étape 4.5.11

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{(3 - 8 y) y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(3 - 8 y) y}}{2 y}$

Étape 4.5.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(3 - 8 y) y}}{2 y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y (3 - 8 y)}}{2 y}$

Étape 4.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{y (3 - 8 y)}}{2 y}$

Étape 4.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{y (3 - 8 y)}}{2 y}$

Étape 4.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{y (3 - 8 y)}}{2 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (3 - 8 y)}}{2 y}$

$x = \frac{\sqrt{y (3 - 8 y)}}{2 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (3 - 8 y)}}{2 y}$

$x = \frac{\sqrt{y (3 - 8 y)}}{2 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (3 - 8 y)}}{2 y}$