Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 3 \geq 0$

Étape 1.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 3$

Étape 1.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 2 = 0$

Étape 1.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 3}$

Notation d’intervalle :

$[3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 3}$

Étape 2

Pour déterminer le point final de l’expression radicale, remplacez la valeur $x$ $3$ , qui est la valeur la plus basse dans le domaine, dans $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{(3) - 3} \cdot 3 - 2 \sqrt{(3) - 3}}{(3) + 2}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{0} \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (3) = \frac{3 - \sqrt{0^{2}} \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Étape 2.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (3) = \frac{3 + 0 \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $- 0 \cdot 3$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 \cdot 3 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Étape 2.2.1.4.2

Multipliez $0$ par $3$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{3 - 3}}{3 + 2}$

Étape 2.2.1.5

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{0}}{3 + 2}$

Étape 2.2.1.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \sqrt{0^{2}}}{3 + 2}$

Étape 2.2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (3) = \frac{3 + 0 - 2 \cdot 0}{3 + 2}$

Étape 2.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0 + 0}{3 + 2}$

Étape 2.2.1.9

Additionnez $3 + 0$ et $0$ .

$f (3) = \frac{3 + 0}{3 + 2}$

Étape 2.2.1.10

Additionnez $3$ et $0$ .

$f (3) = \frac{3}{3 + 2}$

Étape 2.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (3) = \frac{3}{5}$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5}$

Étape 3

Le point final de l’expression du radical est $(3, \frac{3}{5})$ .

$(3, \frac{3}{5})$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $4$ dans $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ . Dans ce cas, le point est $(4, - \frac{1}{2})$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \frac{3 - \sqrt{(4) - 3} \cdot 4 - 2 \sqrt{(4) - 3}}{(4) + 2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f (4) = \frac{3 - \sqrt{1} \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Étape 4.1.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 1 \cdot 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 1 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Étape 4.1.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \sqrt{4 - 3}}{4 + 2}$

Étape 4.1.2.1.4

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \sqrt{1}}{4 + 2}$

Étape 4.1.2.1.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2 \cdot 1}{4 + 2}$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (4) = \frac{3 - 4 - 2}{4 + 2}$

Étape 4.1.2.1.7

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f (4) = \frac{- 1 - 2}{4 + 2}$

Étape 4.1.2.1.8

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f (4) = \frac{- 3}{4 + 2}$

Étape 4.1.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $4$ et $2$ .

$f (4) = \frac{- 3}{6}$

Étape 4.1.2.2.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Étape 4.1.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (4) = \frac{3 (- 1)}{6}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (4) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (4) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (4) = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (4) = - \frac{1}{2}$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $5$ dans $f (x) = \frac{3 - \sqrt{x - 3} x - 2 \sqrt{x - 3}}{x + 2}$ . Dans ce cas, le point est $(5, \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7})$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \frac{3 - \sqrt{(5) - 3} \cdot 5 - 2 \sqrt{(5) - 3}}{(5) + 2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.1

Soustrayez $3$ de $5$ .

$f (5) = \frac{3 - \sqrt{2} \cdot 5 - 2 \sqrt{5 - 3}}{5 + 2}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (5) = \frac{3 - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5 - 3}}{5 + 2}$

Étape 4.2.2.1.3

Soustrayez $3$ de $5$ .

$f (5) = \frac{3 - 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{5 + 2}$

Étape 4.2.2.1.4

Soustrayez $2 \sqrt{2}$ de $- 5 \sqrt{2}$ .

$f (5) = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{5 + 2}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $5$ et $2$ .

$f (5) = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$

Étape 4.2.2.3

La réponse finale est $\frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$ .

$y = \frac{3 - 7 \sqrt{2}}{7}$

Étape 4.3

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(3, \frac{3}{5}), (4, - 0.5), (5, - 0.99)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & \frac{3}{5} \\ 4 & - 0.5 \\ 5 & - 0.99 \end{array}$

Étape 5