Algèbre Exemples

$\log_{6} (x + 2) + \log_{6} (x + 3) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((x + 2) (x + 3)) = 1$

Étape 1.2

Développez $(x + 2) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{6} (x (x + 3) + 2 (x + 3)) = 1$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 3 + 2 (x + 3)) = 1$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) = 1$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 3) = 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\log_{6} (x^{2} + 3 x + 2 x + 6) = 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x$ et $2 x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 5 x + 6) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{6} (x^{2} + 5 x + 6) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$6^{1} = x^{2} + 5 x + 6$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 5 x + 6 = 6^{1}$ .

$x^{2} + 5 x + 6 = 6$

Étape 3.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 5 x + 6 - 6 = 0$

Étape 3.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 5 x + 6 - 6$ .

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Étape 3.3.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$x^{2} + 5 x + 0 = 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $x^{2} + 5 x$ et $0$ .

$x^{2} + 5 x = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 5 x$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 5 x = 0$

Étape 3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 5 = 0$

Étape 3.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$x (x + 5) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.7

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 0, - 5$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{6} (x + 2) + \log_{6} (x + 3) = 1$ vrai.

$x = 0$