Algèbre Exemples

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x^{2} + 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (x^{2} + 2)) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Étape 1.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Étape 1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{3} (x^{1 + 2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log_{3} (x^{3} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Étape 1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x) = 1$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez $- 2 \log_{3} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - \log_{3} (x^{2}) = 1$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 2 x$ .

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

Étape 3.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{x^{2}}) = 1$

Étape 3.1.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ .

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x^{2}}) = 1$

Étape 3.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

Étape 3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

Étape 3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$

Étape 4

Réécrivez $\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x^{2} + 2}{x}$

Étape 5

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} + 2 = 3 (x)$

Étape 6

Multipliez $3$ par $x$ .

$x^{2} + 2 = 3 x$

Étape 7

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 - 3 x = 0$

Étape 8

Factorisez $x^{2} + 2 - 3 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 9

Simplifiez $(x - 2) (x - 1)$ .

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Étape 9.1

Développez $(x - 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 0$

Étape 9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 0$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 0$

Étape 9.2.2

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Étape 10

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 12

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 13

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, 1$