Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 10 x + 5$ , $[- 1, 2]$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 10 x + 5$ comme une équation.

$y = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 10 x + 5$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (2) - f (- 1)}{(2) - (- 1)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 10 x + 5$ pour $f (2)$ et $f (- 1)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 10 \cdot 2 + 5) - (2 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 + 5)}{(2) - (- 1)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 10 \cdot 2 + 5 - (2 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + 3} - 5 \cdot 2^{2} - 10 \cdot 2 + 5 - (2 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2^{4} - 5 \cdot 2^{2} - 10 \cdot 2 + 5 - (2 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{16 - 5 \cdot 2^{2} - 10 \cdot 2 + 5 - (2 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{16 - 5 \cdot 4 - 10 \cdot 2 + 5 - (2 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$\frac{16 - 20 - 10 \cdot 2 + 5 - (2 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$\frac{16 - 20 - 20 + 5 - (2 {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.6.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{16 - 20 - 20 + 5 - (2 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{16 - 20 - 20 + 5 - (- 2 - 5 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.6.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{16 - 20 - 20 + 5 - (- 2 - 5 \cdot 1 - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.6.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{16 - 20 - 20 + 5 - (- 2 - 5 - 10 \cdot - 1 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.6.5

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$\frac{16 - 20 - 20 + 5 - (- 2 - 5 + 10 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.7

Soustrayez $5$ de $- 2$ .

$\frac{16 - 20 - 20 + 5 - (- 7 + 10 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.8

Additionnez $- 7$ et $10$ .

$\frac{16 - 20 - 20 + 5 - (3 + 5)}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.9

Additionnez $3$ et $5$ .

$\frac{16 - 20 - 20 + 5 - 1 \cdot 8}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.10

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{16 - 20 - 20 + 5 - 8}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.11

Soustrayez $20$ de $16$ .

$\frac{- 4 - 20 + 5 - 8}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.12

Soustrayez $20$ de $- 4$ .

$\frac{- 24 + 5 - 8}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.13

Additionnez $- 24$ et $5$ .

$\frac{- 19 - 8}{2 - (- 1)}$

Étape 3.1.14

Soustrayez $8$ de $- 19$ .

$\frac{- 27}{2 - (- 1)}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 27}{2 + 1}$

Étape 3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- 27}{3}$

Étape 3.3

Divisez $- 27$ par $3$ .

$- 9$