Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} - 5}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} - 5}$ par $\frac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 5}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} - 5} \cdot \frac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 5}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} - 5}$ par $\frac{\sqrt{3} + 5}{\sqrt{3} + 5}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 5) (\sqrt{3} + 5)}{(\sqrt{3} - 5) (\sqrt{3} + 5)}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} + 5) (\sqrt{3} + 5)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} \cdot 5 - 5 \sqrt{3} - 25}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} + 5) (\sqrt{3} + 5)}{- 22}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{3} + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 5)}^{1} (\sqrt{3} + 5)}{- 22}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{3} + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 5)}^{1} {(\sqrt{3} + 5)}^{1}}{- 22}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{3} + 5)}^{1 + 1}}{- 22}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 5)}^{2}}{- 22}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{{(\sqrt{3} + 5)}^{2}}{22}$

Étape 5

Simplifiez ${(\sqrt{3} + 5)}^{2}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez ${(\sqrt{3} + 5)}^{2}$ comme $(\sqrt{3} + 5) (\sqrt{3} + 5)$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 5) (\sqrt{3} + 5)}{22}$

Étape 5.2

Développez $(\sqrt{3} + 5) (\sqrt{3} + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 5) + 5 (\sqrt{3} + 5)}{22}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 5 + 5 (\sqrt{3} + 5)}{22}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 5 + 5 \sqrt{3} + 5 \cdot 5}{22}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 5 + 5 \sqrt{3} + 5 \cdot 5}{22}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot 5 + 5 \sqrt{3} + 5 \cdot 5}{22}$

Étape 5.3.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot 5 + 5 \sqrt{3} + 5 \cdot 5}{22}$

Étape 5.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{3 + \sqrt{3} \cdot 5 + 5 \sqrt{3} + 5 \cdot 5}{22}$

Étape 5.3.1.5

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$- \frac{3 + 5 \cdot \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + 5 \cdot 5}{22}$

Étape 5.3.1.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{3 + 5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + 25}{22}$

Étape 5.3.2

Additionnez $3$ et $25$ .

$- \frac{28 + 5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{22}$

Étape 5.3.3

Additionnez $5 \sqrt{3}$ et $5 \sqrt{3}$ .

$- \frac{28 + 10 \sqrt{3}}{22}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $28 + 10 \sqrt{3}$ et $22$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $28$ .

$- \frac{2 (14) + 10 \sqrt{3}}{22}$

Étape 6.2

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 (14) + 2 (5 \sqrt{3})}{22}$

Étape 6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (14) + 2 (5 \sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (14 + 5 \sqrt{3})}{22}$

Étape 6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$- \frac{2 (14 + 5 \sqrt{3})}{2 \cdot 11}$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (14 + 5 \sqrt{3})}{2 \cdot 11}$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{14 + 5 \sqrt{3}}{11}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{14 + 5 \sqrt{3}}{11}$

Forme décimale :

$- 2.06002309 \dots$