Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x - 4$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{3} x - 4$ comme une équation.

$y = \frac{1}{3} x - 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{3} y - 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} y - 4 = x$ .

$\frac{1}{3} y - 4 = x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $y$ .

$\frac{y}{3} - 4 = x$

Étape 3.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{3} = x + 4$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (x + 4)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y}{3} = 3 (x + 4)$

Étape 3.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3 (x + 4)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $3 (x + 4)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 x + 3 \cdot 4$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$y = 3 x + 12$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 3 x + 12$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 3 x + 12$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} x - 4$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{3} x - 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - 4) = 3 (\frac{1}{3} x - 4) + 12$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - 4) = 3 (\frac{x}{3} - 4) + 12$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - 4) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 4 + 12$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - 4) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 4 + 12$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - 4) = x + 3 \cdot - 4 + 12$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - 4) = x - 12 + 12$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 12 + 12$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - 4) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - 4) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (3 x + 12)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (3 x + 12) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 12) - 4$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (3 x + 12) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{1}{3} \cdot 12 - 4$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$f (3 x + 12) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x)) + \frac{1}{3} \cdot 12 - 4$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (3 x + 12) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{1}{3} \cdot 12 - 4$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (3 x + 12) = x + \frac{1}{3} \cdot 12 - 4$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (3 x + 12) = x + \frac{1}{3} \cdot (3 (4)) - 4$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (3 x + 12) = x + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 4) - 4$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (3 x + 12) = x + 4 - 4$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 4 - 4$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (3 x + 12) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (3 x + 12) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 3 x + 12$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3} x - 4$ .

$f^{- 1} (x) = 3 x + 12$