Algèbre Exemples

$\frac{4}{t + 2} + \frac{3}{t - 2} - \frac{t - 1}{t^{2} - 4}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4}{t + 2} + \frac{3}{t - 2} - \frac{t - 1}{t^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 2$ .

$\frac{4}{t + 2} + \frac{3}{t - 2} - \frac{t - 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{4}{t + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t - 2}{t - 2}$ .

$\frac{4}{t + 2} \cdot \frac{t - 2}{t - 2} + \frac{3}{t - 2} - \frac{t - 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3}{t - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t + 2}{t + 2}$ .

$\frac{4}{t + 2} \cdot \frac{t - 2}{t - 2} + \frac{3}{t - 2} \cdot \frac{t + 2}{t + 2} - \frac{t - 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(t + 2) (t - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{4}{t + 2}$ par $\frac{t - 2}{t - 2}$ .

$\frac{4 (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} + \frac{3}{t - 2} \cdot \frac{t + 2}{t + 2} - \frac{t - 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{t - 2}$ par $\frac{t + 2}{t + 2}$ .

$\frac{4 (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} + \frac{3 (t + 2)}{(t - 2) (t + 2)} - \frac{t - 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(t - 2) (t + 2)$ .

$\frac{4 (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} + \frac{3 (t + 2)}{(t + 2) (t - 2)} - \frac{t - 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (t - 2) + 3 (t + 2)}{(t + 2) (t - 2)} - \frac{t - 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (t - 2) + 3 (t + 2) - (t - 1)}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 t + 4 \cdot - 2 + 3 (t + 2) - (t - 1)}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{4 t - 8 + 3 (t + 2) - (t - 1)}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 t - 8 + 3 t + 3 \cdot 2 - (t - 1)}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 6.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{4 t - 8 + 3 t + 6 - (t - 1)}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 t - 8 + 3 t + 6 - t - - 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 6.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 t - 8 + 3 t + 6 - t + 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.1

Additionnez $4 t$ et $3 t$ .

$\frac{7 t - 8 + 6 - t + 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 7.2

Soustrayez $t$ de $7 t$ .

$\frac{6 t - 8 + 6 + 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 7.3

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.3.1

Additionnez $- 8$ et $6$ .

$\frac{6 t - 2 + 1}{(t + 2) (t - 2)}$

Étape 7.3.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{6 t - 1}{(t + 2) (t - 2)}$