Algèbre Exemples

$2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2} - 125 x - 500$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- 125 x - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 2

Factorisez $- 125$ à partir de $- 125 x - 500$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 125$ à partir de $- 125 x$ .

$- 125 (x) - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 2.2

Factorisez $- 125$ à partir de $- 500$ .

$- 125 (x) - 125 (4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 2.3

Factorisez $- 125$ à partir de $- 125 (x) - 125 (4)$ .

$- 125 (x + 4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $23 x^{3}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + 60 x^{2}$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $60 x^{2}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + x^{2} \cdot 60$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x)$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$

Étape 3.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x + 60)$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 60 = 120$ et dont la somme est $b = 23$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $23$ à partir de $23 x$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 (x) + 60)$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez $23$ comme $8$ plus $15$

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + (8 + 15) x + 60)$

Étape 4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 8 x + 15 x + 60)$

Étape 4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((2 x^{2} + 8 x) + 15 x + 60)$

Étape 4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x (x + 4) + 15 (x + 4))$

Étape 4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 4$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((x + 4) (2 x + 15))$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Étape 5

Factorisez $x + 4$ à partir de $- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $- 125 (x + 4)$ .

$(x + 4) \cdot - 125 + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Étape 5.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ .

$(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$

Étape 5.3

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$ .

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x + 15))$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 15)$

Étape 7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 15)$

Étape 8

Déplacez $15$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + 15 \cdot x^{2})$

Étape 9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1

Déplacez $x$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x \cdot x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Étape 9.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x^{1} x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Étape 9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{1 + 2} + 15 \cdot x^{2})$

Étape 9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 \cdot x^{2})$

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 x^{2})$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 4) (2 x^{3} + 15 x^{2} - 125)$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Réécrivez $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ en forme factorisée.

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Étape 11.1.1

Factorisez $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 11.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 11.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 125, \pm 62.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 25, \pm 12.5$

Étape 11.1.1.3

Remplacez $- 5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 5$ est une racine du polynôme.

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Étape 11.1.1.3.1

Remplacez $- 5$ dans le polynôme.

$2 {(- 5)}^{3} + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Étape 11.1.1.3.2

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 125 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Étape 11.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 125$ .

$- 250 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Étape 11.1.1.3.4

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- 250 + 15 \cdot 25 - 125$

Étape 11.1.1.3.5

Multipliez $15$ par $25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Étape 11.1.1.3.6

Additionnez $- 250$ et $375$ .

$125 - 125$

Étape 11.1.1.3.7

Soustrayez $125$ de $125$ .

$0$

Étape 11.1.1.4

Comme $- 5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} - 125}{x + 5}$

Étape 11.1.1.5

Divisez $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ par $x + 5$ .

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Étape 11.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$0 x$

$125$

Étape 11.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$

Étape 11.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			+	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Étape 11.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Étape 11.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Étape 11.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 11.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 11.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$

Étape 11.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{2} + 25 x$

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$

Étape 11.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$

Étape 11.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Étape 11.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 25 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Étape 11.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	-	$125$

Étape 11.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 25 x - 125$

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$

Étape 11.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$
										$0$

Étape 11.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + 5 x - 25$

Étape 11.1.1.6

Écrivez $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 x - 25))$

Étape 11.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 11.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 11.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 11.1.2.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 (x) - 25))$

Étape 11.1.2.1.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 5$ plus $10$

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + (- 5 + 10) x - 25))$

Étape 11.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} - 5 x + 10 x - 25))$

Étape 11.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 11.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x^{2} - 5 x) + 10 x - 25))$

Étape 11.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 4) ((x + 5) (x (2 x - 5) + 5 (2 x - 5)))$

Étape 11.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 5$ .

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x - 5) (x + 5)))$

Étape 11.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x - 5) (x + 5))$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 4) (x + 5) (2 x - 5) (x + 5)$

Étape 12

Associez les exposants.

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Étape 12.1

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} (x + 5)) (2 x - 5)$

Étape 12.2

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}) (2 x - 5)$

Étape 12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 4) {(x + 5)}^{1 + 1} (2 x - 5)$

Étape 12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x + 4) {(x + 5)}^{2} (2 x - 5)$