Algèbre Exemples

$3 = \frac{- 3}{x - 4} + \frac{6}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{- 3}{x - 4}$ des deux côtés de l’équation.

$3 - \frac{- 3}{x - 4} = \frac{6}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 1.2

Soustrayez $\frac{6}{{(x - 4)}^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$3 - \frac{- 3}{x - 4} - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2

Simplifiez $3 - \frac{- 3}{x - 4} - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}}$ .

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3}{1} - \frac{- 3}{x - 4} - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{3}{1} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} - \frac{- 3}{x - 4} - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} - \frac{- 3}{x - 4} - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{- 3}{x - 4}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} - (\frac{- 3}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{- 3}{x - 4}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} - \frac{- 3 (x - 4)}{(x - 4) (x - 4)} - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.6

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} - \frac{- 3 (x - 4)}{{(x - 4)}^{1} (x - 4)} - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.7

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} - \frac{- 3 (x - 4)}{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1}} - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} - \frac{- 3 (x - 4)}{{(x - 4)}^{1 + 1}} - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} - \frac{- 3 (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}} - \frac{6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2} + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$\frac{3 ((x - 4) (x - 4)) + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.2

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{3 (x^{2} - 8 x + 16) + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 16 + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 24 x + 3 \cdot 16 + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{3 x^{2} - 24 x + 48 + 3 (x - 4) - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 24 x + 48 + 3 x + 3 \cdot - 4 - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.3.7

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 24 x + 48 + 3 x - 12 - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.4

Additionnez $- 24 x$ et $3 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 21 x + 48 - 12 - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $12$ de $48$ .

$\frac{3 x^{2} - 21 x + 36 - 6}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $6$ de $36$ .

$\frac{3 x^{2} - 21 x + 30}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 21 x + 30$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 21 x + 30}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 21 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 7 x) + 30}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.1.3

Factorisez $3$ à partir de $30$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x) + 3 \cdot 10}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 7 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 7 x) + 3 \cdot 10}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 7 x) + 3 \cdot 10$ .

$\frac{3 (x^{2} - 7 x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.7.2

Factorisez $x^{2} - 7 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.7.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 5, - 2$

Étape 2.7.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 ((x - 5) (x - 2))}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

$\frac{3 (x - 5) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 (x - 5) (x - 2) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 5) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 5, 2$