Algèbre Exemples

$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} - 37 x^{2} + 9 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 u^{2} - 37 u + 9 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ et dont la somme est $b = - 37$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 37$ à partir de $- 37 u$ .

$4 u^{2} - 37 u + 9 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 37$ comme $- 1$ plus $- 36$

$4 u^{2} + (- 1 - 36) u + 9 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u - 36 u + 9 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) - 36 u + 9 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) - 9 (4 u - 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 9) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 5

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 8

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 11

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 12

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 12.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 12.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 13

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 14

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (2 x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, - 3, 3$