Algèbre Exemples

$4 x^{4} + 23 x^{2} = 6$

Étape 1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{4} + 23 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} + 23 x^{2} - 6 = 0$

Étape 3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 u^{2} + 23 u - 6 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 6 = - 24$ et dont la somme est $b = 23$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $23$ à partir de $23 u$ .

$4 u^{2} + 23 (u) - 6 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $23$ comme $- 1$ plus $24$

$4 u^{2} + (- 1 + 24) u - 6 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u + 24 u - 6 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) + 24 u - 6 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) + 6 (4 u - 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 6) = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 1) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 6

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Étape 10

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 11

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 12

Définissez $x^{2} + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x^{2} + 6$ égal à $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x^{2} + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 6$

Étape 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Étape 12.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Étape 12.2.3.1

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Étape 12.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (6)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Étape 12.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Étape 12.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{6}$

Étape 12.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{6}$

Étape 12.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$