Algèbre Exemples

$27 = 3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}}$

Étape 1

Soustrayez $3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$27 - 3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}} = 0$

Étape 2

Multipliez $- 3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$27 - ({(3^{2})}^{x^{2}} \cdot 3^{5 x}) = 0$

Étape 2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 - (3^{2 x^{2}} \cdot 3^{5 x}) = 0$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 - 3^{2 x^{2} + 5 x} = 0$

Étape 3

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$- 3^{2 x^{2} + 5 x} = - 27$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 3^{2 x^{2} + 5 x} = - 27$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 3^{2 x^{2} + 5 x} = - 27$ par $- 1$ .

$\frac{- 3^{2 x^{2} + 5 x}}{- 1} = \frac{- 27}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{3^{2 x^{2} + 5 x}}{1} = \frac{- 27}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $3^{2 x^{2} + 5 x}$ par $1$ .

$3^{2 x^{2} + 5 x} = \frac{- 27}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $- 27$ par $- 1$ .

$3^{2 x^{2} + 5 x} = 27$

Étape 5

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{2 x^{2} + 5 x} = 3^{3}$

Étape 6

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 x^{2} + 5 x = 3$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Étape 7.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0$

Étape 7.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0$

Étape 7.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Étape 7.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 7.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 7.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 7.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 7.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - 3$