Algèbre Exemples

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 1 = 0$

Étape 2

Réécrivez ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ comme ${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 1 = 0$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ et $b = 1$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2

Multipliez ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ par $1$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1^{2}) = 0$

Étape 5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1) = 0$

Étape 6

Simplifiez $({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1)$ .

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Étape 6.1

Développez $({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.1

Associez les termes opposés dans ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1 - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1$ .

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Étape 6.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 1$ et $- 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ de $1 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 0 - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.1.3

Additionnez ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ et $0$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ par ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.1.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.2

Multipliez ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ par ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1 + 1}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.2.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2 (1)}{4}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez $- 1 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ comme $- {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Étape 6.2.3

Associez les termes opposés dans ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 1$ .

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Étape 6.2.3.1

Soustrayez ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 0 - 1 = 0$

Étape 6.2.3.2

Additionnez ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ et $0$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 1 = 0$

Étape 7

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} = 1$

Étape 8

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{4}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 1^{\frac{4}{3}}$

Étape 9

Simplifiez l’exposant.

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Étape 9.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.1.1

Simplifiez ${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 9.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 9.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 1^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 1^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 2)}^{1} = 1^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.1.1.2

Simplifiez

$x - 2 = 1^{\frac{4}{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x - 2 = 1$

Étape 10

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1 + 2$

Étape 10.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = 3$