Algèbre Exemples

$x^{10} - 31 x^{5} - 32 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{10}$ comme ${(x^{5})}^{2}$ .

${(x^{5})}^{2} - 31 x^{5} - 32 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{5}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{5}$ par $u$ .

$u^{2} - 31 u - 32 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 31 u - 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 32$ et dont la somme est $- 31$ .

$- 32, 1$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 32) (u + 1) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{5} - 32 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{5} - 32$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{5} - 32$ égal à $0$ .

$x^{5} - 32 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{5} - 32 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $32$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{5} = 32$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{32}$

Étape 3.2.3

Simplifiez $\sqrt[5]{32}$ .

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{2^{5}}$

Étape 3.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 2$

Étape 4

Définissez $x^{5} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{5} + 1$ égal à $0$ .

$x^{5} + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{5} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{5} = - 1$

Étape 4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{- 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez $\sqrt[5]{- 1}$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

Étape 4.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = - 1$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 6