Algèbre Exemples

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{1}{x} = 5$

Étape 1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{1}{x} - 5 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{4 x}{x - 2} + \frac{1}{x} - 5$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{4 x}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} - 5 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - 5 = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{4 x}{x - 2}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x \cdot x}{(x - 2) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - 5 = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4 x \cdot x}{(x - 2) x} + \frac{x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) x$ .

$\frac{4 x \cdot x}{x (x - 2)} + \frac{x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x \cdot x + x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Étape 2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2}{x (x - 2)} - 5 = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2}{x (x - 2)} - 5 \cdot \frac{x (x - 2)}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.7

Associez $- 5$ et $\frac{x (x - 2)}{x (x - 2)}$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2}{x (x - 2)} + \frac{- 5 (x (x - 2))}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 (x (x - 2))}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 x^{2} - 5 x \cdot - 2}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.3

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} + x - 2 - 5 x^{2} + 10 x}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.4

Soustrayez $5 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + x - 2 + 10 x}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.5

Additionnez $x$ et $10 x$ .

$\frac{- x^{2} + 11 x - 2}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 11 x - 2}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $11 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 11 x) - 2}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 2}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.13

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 1 (2)}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 11 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 11 x + 2)}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.15

Réécrivez $- (x^{2} - 11 x + 2)$ comme $- 1 (x^{2} - 11 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 11 x + 2)}{x (x - 2)} = 0$

Étape 2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 11 x + 2}{x (x - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 11 x + 2 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 11$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 11$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $8$ de $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Élevez $- 11$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $8$ de $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2}$

Étape 4.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{11 + \sqrt{113}}{2}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 11$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $8$ de $121$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2}$

Étape 4.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{11 - \sqrt{113}}{2}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{11 + \sqrt{113}}{2}, \frac{11 - \sqrt{113}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{11 + \sqrt{113}}{2}, \frac{11 - \sqrt{113}}{2}$

Forme décimale :

$x = 10.81507290 \dots, 0.18492709 \dots$