Algèbre Exemples

$\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{3 x - 2}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} - \frac{3 x - 2}{4} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} - \frac{3 x - 2}{4}$ .

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{5 x - 2}{2}$ par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{5 x - 2}{2} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{19 x + 6}{2 x} - \frac{3 x - 2}{4} = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{5 x - 2}{2}$ par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 (2 x)} - \frac{19 x + 6}{2 x} - \frac{3 x - 2}{4} = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{19 x + 6}{2 x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 (2 x)} - (\frac{19 x + 6}{2 x} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{3 x - 2}{4} = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{19 x + 6}{2 x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 (2 x)} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 x \cdot 2} - \frac{3 x - 2}{4} = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{3 x - 2}{4}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 (2 x)} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 x \cdot 2} - (\frac{3 x - 2}{4} \cdot \frac{x}{x}) = 0$

Étape 2.1.6

Multipliez $\frac{3 x - 2}{4}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 (2 x)} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 x \cdot 2} - \frac{(3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.1.7

Réorganisez les facteurs de $2 (2 x)$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{2 \cdot 2 x} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 x \cdot 2} - \frac{(3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.1.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{4 x} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 x \cdot 2} - \frac{(3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.1.9

Réorganisez les facteurs de $2 x \cdot 2$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{4 x} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{2 \cdot 2 x} - \frac{(3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.1.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(5 x - 2) (2 x)}{4 x} - \frac{(19 x + 6) \cdot 2}{4 x} - \frac{(3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(5 x - 2) (2 x) - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x (2 x) - 2 (2 x) - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 \cdot 2 x \cdot x - 2 (2 x) - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{5 \cdot 2 x \cdot x - 4 x - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.4.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 \cdot 2 (x \cdot x) - 4 x - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 \cdot 2 x^{2} - 4 x - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - (19 x + 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} - 4 x + (- (19 x) - 1 \cdot 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.6

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x + (- 19 x - 1 \cdot 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x + (- 19 x - 6) \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 19 x \cdot 2 - 6 \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.9

Multipliez $2$ par $- 19$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 6 \cdot 2 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.10

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 - (3 x - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 + (- (3 x) - - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 + (- 3 x - - 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.13

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 + (- 3 x + 2) x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.14

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 - 3 x \cdot x + 2 x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.15

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.15.1

Déplacez $x$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 - 3 (x \cdot x) + 2 x}{4 x} = 0$

Étape 2.3.15.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{10 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 - 3 x^{2} + 2 x}{4 x} = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $3 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 4 x - 38 x - 12 + 2 x}{4 x} = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $38 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 42 x - 12 + 2 x}{4 x} = 0$

Étape 2.6

Additionnez $- 42 x$ et $2 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 40 x - 12}{4 x} = 0$

Étape 2.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot - 12 = - 84$ et dont la somme est $b = - 40$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $- 40$ à partir de $- 40 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 40 (x) - 12}{4 x} = 0$

Étape 2.7.1.2

Réécrivez $- 40$ comme $2$ plus $- 42$

$\frac{7 x^{2} + (2 - 42) x - 12}{4 x} = 0$

Étape 2.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x^{2} + 2 x - 42 x - 12}{4 x} = 0$

Étape 2.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(7 x^{2} + 2 x) - 42 x - 12}{4 x} = 0$

Étape 2.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (7 x + 2) - 6 (7 x + 2)}{4 x} = 0$

Étape 2.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 x + 2$ .

$\frac{(7 x + 2) (x - 6)}{4 x} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(7 x + 2) (x - 6) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 4.2

Définissez $7 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $7 x + 2$ égal à $0$ .

$7 x + 2 = 0$

Étape 4.2.2

Résolvez $7 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$7 x = - 2$

Étape 4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = - 2$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = - 2$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Étape 4.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Étape 4.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{7}$

Étape 4.3

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7 x + 2) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{7}, 6$