Algèbre Exemples

$\frac{1}{x^{2}} - 7 = \frac{8}{x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{8}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{2}} - 7 - \frac{8}{x} = 0$

Étape 2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 7 = 0$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{8}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{8}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 7 = 0$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{8}{x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{8 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} - 7 = 0$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{8 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} - 7 = 0$

Étape 4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{8 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} - 7 = 0$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{8 x}{x^{1 + 1}} + \frac{1}{x^{2}} - 7 = 0$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} - 7 = 0$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 x + 1}{x^{2}} - 7 = 0$

Étape 6

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- 8 x + 1}{x^{2}} - 7 \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} = 0$

Étape 7

Associez $- 7$ et $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- 8 x + 1}{x^{2}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 x + 1 - 7 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 7 x^{2} - 8 x + 1}{x^{2}} = 0$

Étape 10

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 7 x^{2} - 8 x + 1 = 0$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11.2

Remplacez les valeurs $a = - 7$ , $b = - 8$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 7 \cdot 1)}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 7 \cdot 1}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 7 \cdot 1$ .

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Étape 11.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28 \cdot 1}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.3.1.2.2

Multipliez $28$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.3.1.3

Additionnez $64$ et $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.3.1.4

Réécrivez $92$ comme $2^{2} \cdot 23$ .

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Étape 11.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $92$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.3.2

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{- 14}$

Étape 11.3.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{- 14}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{23}}{- 7}$

Étape 11.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{23}}{7}$

Étape 11.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 11.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 7 \cdot 1}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 7 \cdot 1$ .

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Étape 11.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28 \cdot 1}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.4.1.2.2

Multipliez $28$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.4.1.3

Additionnez $64$ et $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.4.1.4

Réécrivez $92$ comme $2^{2} \cdot 23$ .

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Étape 11.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $92$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.4.2

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{- 14}$

Étape 11.4.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{- 14}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{23}}{- 7}$

Étape 11.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{23}}{7}$

Étape 11.4.5

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - \frac{4 + \sqrt{23}}{7}$

Étape 11.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 11.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 7 \cdot 1}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 7 \cdot 1$ .

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Étape 11.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28 \cdot 1}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.5.1.2.2

Multipliez $28$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.5.1.3

Additionnez $64$ et $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.5.1.4

Réécrivez $92$ comme $2^{2} \cdot 23$ .

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Étape 11.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $92$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2 \cdot - 7}$

Étape 11.5.2

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{- 14}$

Étape 11.5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{- 14}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{23}}{- 7}$

Étape 11.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{23}}{7}$

Étape 11.5.5

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - \frac{4 - \sqrt{23}}{7}$

Étape 11.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{4 + \sqrt{23}}{7}, - \frac{4 - \sqrt{23}}{7}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{4 + \sqrt{23}}{7}, - \frac{4 - \sqrt{23}}{7}$

Forme décimale :

$x = - 1.25654736 \dots, 0.11369021 \dots$