Algèbre Exemples

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} = \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 7$ .

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{14}{y + 7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y + 7} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{2}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{14}{y + 7} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2}{y} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y + 7) y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{14}{y + 7}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y + 7) y} + \frac{2}{y} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{2}{y}$ par $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{14 y}{(y + 7) y} + \frac{2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(y + 7) y$ .

$\frac{14 y}{y (y + 7)} + \frac{2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 y + 2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $14 y + 2 (y + 7)$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14 y$ .

$\frac{2 (7 y) + 2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (7 y) + 2 (y + 7)$ .

$\frac{2 (7 y + y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.6.2

Additionnez $7 y$ et $y$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.8

Pour écrire $- \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Étape 2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (y + 7) (y - 7)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)}$ par $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $\frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(9 y - 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Étape 2.9.3

Réorganisez les facteurs de $(y + 7) (y - 7) y$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (8 y) + 2 \cdot 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{(16 y + 2 \cdot 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{(16 y + 14) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.4

Développez $(16 y + 14) (y - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.11.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{16 y (y - 7) + 14 (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{16 y \cdot y + 16 y \cdot - 7 + 14 (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{16 y \cdot y + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.11.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.5.1.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.5.1.1.1

Déplacez $y$ .

$\frac{16 (y \cdot y) + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.5.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{16 y^{2} + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.5.1.2

Multipliez $- 7$ par $16$ .

$\frac{16 y^{2} - 112 y + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.5.1.3

Multipliez $14$ par $- 7$ .

$\frac{16 y^{2} - 112 y + 14 y - 98 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.5.2

Additionnez $- 112 y$ et $14 y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- (9 y) - - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.7

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- 9 y - - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.8

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- 9 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 y \cdot y + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.10

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.10.1

Déplacez $y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 (y \cdot y) + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.10.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 y^{2} + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.11

Soustrayez $9 y^{2}$ de $16 y^{2}$ .

$\frac{7 y^{2} - 98 y - 98 + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.12

Additionnez $- 98 y$ et $7 y$ .

$\frac{7 y^{2} - 91 y - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13

Réécrivez $7 y^{2} - 91 y - 98$ en forme factorisée.

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Étape 2.11.13.1

Factorisez $7$ à partir de $7 y^{2} - 91 y - 98$ .

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Étape 2.11.13.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 y^{2}$ .

$\frac{7 (y^{2}) - 91 y - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.1.2

Factorisez $7$ à partir de $- 91 y$ .

$\frac{7 (y^{2}) + 7 (- 13 y) - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.1.3

Factorisez $7$ à partir de $- 98$ .

$\frac{7 y^{2} + 7 (- 13 y) + 7 \cdot - 14}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.1.4

Factorisez $7$ à partir de $7 y^{2} + 7 (- 13 y)$ .

$\frac{7 (y^{2} - 13 y) + 7 \cdot - 14}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.1.5

Factorisez $7$ à partir de $7 (y^{2} - 13 y) + 7 \cdot - 14$ .

$\frac{7 (y^{2} - 13 y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 2.11.13.2

Factorisez $y^{2} - 13 y - 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.11.13.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 14$ et dont la somme est $- 13$ .

$- 14, 1$

Étape 2.11.13.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{7 ((y - 14) (y + 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (y - 14) (y + 1)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$7 (y - 14) (y + 1) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 14 = 0$

$y + 1 = 0$

Étape 4.2

Définissez $y - 14$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $y - 14$ égal à $0$ .

$y - 14 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 14$

Étape 4.3

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $7 (y - 14) (y + 1) = 0$ vraie.

$y = 14, - 1$