Algèbre Exemples

$\frac{11 (x - 3)}{x - 4} + \frac{5}{x} = \frac{- 5}{x (x - 4)}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{- 5}{x (x - 4)}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{11 (x - 3)}{x - 4} + \frac{5}{x} - \frac{- 5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{11 (x - 3)}{x - 4} + \frac{5}{x} - \frac{- 5}{x (x - 4)}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{11 (x - 3)}{x - 4} + \frac{5}{x} - - \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $- - \frac{5}{x (x - 4)}$ .

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Étape 2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{11 (x - 3)}{x - 4} + \frac{5}{x} + 1 \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $\frac{5}{x (x - 4)}$ par $1$ .

$\frac{11 (x - 3)}{x - 4} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{11 (x - 3)}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{11 (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{5}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{11 (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{11 (x - 3)}{x - 4}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{11 (x - 3) x}{(x - 4) x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{5}{x}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{11 (x - 3) x}{(x - 4) x} + \frac{5 (x - 4)}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) x$ .

$\frac{11 (x - 3) x}{x (x - 4)} + \frac{5 (x - 4)}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{11 (x - 3) x + 5 (x - 4)}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(11 x + 11 \cdot - 3) x + 5 (x - 4)}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $11$ par $- 3$ .

$\frac{(11 x - 33) x + 5 (x - 4)}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 x \cdot x - 33 x + 5 (x - 4)}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{11 (x \cdot x) - 33 x + 5 (x - 4)}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{11 x^{2} - 33 x + 5 (x - 4)}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 x^{2} - 33 x + 5 x + 5 \cdot - 4}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.6

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$\frac{11 x^{2} - 33 x + 5 x - 20}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.7

Additionnez $- 33 x$ et $5 x$ .

$\frac{11 x^{2} - 28 x - 20}{x (x - 4)} + \frac{5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{11 x^{2} - 28 x - 20 + 5}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.8

Additionnez $- 20$ et $5$ .

$\frac{11 x^{2} - 28 x - 15}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.9.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 11 \cdot - 15 = - 165$ et dont la somme est $b = - 28$ .

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Étape 2.9.1.1

Factorisez $- 28$ à partir de $- 28 x$ .

$\frac{11 x^{2} - 28 (x) - 15}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.9.1.2

Réécrivez $- 28$ comme $5$ plus $- 33$

$\frac{11 x^{2} + (5 - 33) x - 15}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{11 x^{2} + 5 x - 33 x - 15}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.9.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.9.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(11 x^{2} + 5 x) - 33 x - 15}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.9.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (11 x + 5) - 3 (11 x + 5)}{x (x - 4)} = 0$

Étape 2.9.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $11 x + 5$ .

$\frac{(11 x + 5) (x - 3)}{x (x - 4)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(11 x + 5) (x - 3) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$11 x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4.2

Définissez $11 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $11 x + 5$ égal à $0$ .

$11 x + 5 = 0$

Étape 4.2.2

Résolvez $11 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$11 x = - 5$

Étape 4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $11 x = - 5$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $11 x = - 5$ par $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 5}{11}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 4.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 5}{11}$

Étape 4.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{11}$

Étape 4.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{11}$

Étape 4.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(11 x + 5) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{5}{11}, 3$