Algèbre Exemples

$\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} = - \frac{1}{2}$

Étape 1

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{2}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{2}{x + 1}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x - 2}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x - 2) - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x - 4 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 4 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x - 4 - x - 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.5.5

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 4 - 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 2) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{(x + 1) (x - 2) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{(x + 1) (x - 2) \cdot 2} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{2 ((x + 1) (x - 2))} = 0$

Étape 2.8.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) (x - 2) \cdot 2$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{2 (x + 1) (x - 2)} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{2 ((x + 1) (x - 2))} = 0$

Étape 2.8.4

Réorganisez les facteurs de $2 ((x + 1) (x - 2))$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{2 (x + 1) (x - 2)} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 5) \cdot 2 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 2 - 5 \cdot 2 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 \cdot x - 5 \cdot 2 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot x - 10 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.4

Développez $(x + 1) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 10 + x (x - 2) + 1 (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 10 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 10 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.5.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.5.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.5.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - 2 x + x - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.5.2

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - x - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.6

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 10 + x^{2} - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.7

Soustrayez $2$ de $- 10$ .

$\frac{x + x^{2} - 12}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + x - 12}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.9

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.10.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 2.10.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.3

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 3, - 4$