Algèbre Exemples

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 6}$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{x}{x - 2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} = \frac{1}{x - 6}$

Étape 1.2

Soustrayez $\frac{1}{x - 6}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{4}{x^{2} - 8 x + 12} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 8 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 6, - 2$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{x}{x - 2}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - (\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}) - \frac{1}{x - 6} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{x}{x - 2}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - \frac{1}{x - 6} = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{1}{x - 6}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - (\frac{1}{x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) = 0$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{1}{x - 6}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x - 6) (x - 2)} - \frac{x (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} - \frac{x - 2}{(x - 6) (x - 2)} = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - x (x - 6) - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - x \cdot x - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 - (x \cdot x) - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 - x^{2} - x \cdot - 6 - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - (x - 2)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - x - - 2}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{4 - x^{2} + 6 x - x + 2}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.5

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{- x^{2} + 6 x - x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $x$ de $6 x$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 5 (x) + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.7.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 6) x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 6 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 6 x + 6}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 1) - 6 (- x - 1)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- x - 1) (x - 6)}{(x - 2) (x - 6)} = 0$

Étape 2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x - 1}{x - 2} = 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{x - 2} = 0$

Étape 2.10

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{x - 2} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{x - 2} = 0$

Étape 2.12

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{x - 2} = 0$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 1}{x - 2} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$