Algèbre Exemples

$x^{5} = x^{3} + 12 x$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{5} - x^{3} = 12 x$

Étape 1.2

Soustrayez $12 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{5} - x^{3} - 12 x = 0$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - x^{3} - 12 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x = 0$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 = 0$

Étape 2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 = 0$

Étape 2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 12) = 0$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) = 0$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} - u - 12) = 0$

Étape 5

Factorisez $u^{2} - u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) = 0$

Étape 7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) = 0$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) = 0$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 10

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 11

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 12

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 13

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x^{2} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 3$

Étape 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 13.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 13.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 13.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 13.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 13.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 13.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 13.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$