Algèbre Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} = 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} - 3 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} - 3$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{x + 2} - 3 = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x + 2} - 3 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - 3 = 0$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{x + 2}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Étape 2.5

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Étape 2.6

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Étape 2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Étape 2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} - 3 = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} - 3 \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8

Associez $- 3$ et $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x - 1) - 3 ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 2 + (- 3 x - 3 \cdot 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{2 x - 2 + (- 3 x - 6) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.5

Développez $(- 3 x - 6) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 2 - 3 x (x - 2) - 6 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 - 6 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.6.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 6 x - 6 x + 12}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.6.2

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 0 + 12}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.6.3

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x^{2} + 12}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.7

Additionnez $- 2$ et $12$ .

$\frac{2 x - 3 x^{2} + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 x^{2} + 2 x + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (3 x^{2}) + 2 x + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (3 x^{2} - 2 x) + 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.14

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 10)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x^{2} - 2 x - 10)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.16

Réécrivez $- (3 x^{2} - 2 x - 10)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 10)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x - 10)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x^{2} - 2 x - 10}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x^{2} - 2 x - 10 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 2$ et $c = - 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 10)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 10$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 10$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $4$ et $120$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $124$ comme $2^{2} \cdot 31$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $124$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 10$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 10$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.3

Additionnez $4$ et $120$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez $124$ comme $2^{2} \cdot 31$ .

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Étape 4.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $124$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Étape 4.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 10$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 10$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $4$ et $120$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $124$ comme $2^{2} \cdot 31$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $124$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}, \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}, \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Forme décimale :

$x = 2.18925478 \dots, - 1.52258812 \dots$