Algèbre Exemples

$\frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x - 2} = 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x - 2} - 2 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x - 2} - 2$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x}{x - 2} - 2 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - 2 = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{x}{x - 2}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - 2 = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} - 2 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 2) + x (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x - 2) + x (x + 1)$ .

$\frac{x (x - 2 + x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{x (2 x - 2 + 1)}{(x + 1) (x - 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{x (2 x - 1)}{(x + 1) (x - 2)} - 2 = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$ .

$\frac{x (2 x - 1)}{(x + 1) (x - 2)} - 2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7

Associez $- 2$ et $\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$ .

$\frac{x (2 x - 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{- 2 ((x + 1) (x - 2))}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 ((x + 1) (x - 2))}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x \cdot x - 1 \cdot x - 2 (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.4.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) - 1 \cdot x - 2 (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x - 2 (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.4.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 2 (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x + (- 2 x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.7

Développez $(- 2 x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x - 2 x (x - 2) - 2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.9.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.8.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.8.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.8.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.8.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.8.2

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 2 x^{2} + 2 x + 4}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.9

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- x + 0 + 2 x + 4}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.10

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{- x + 2 x + 4}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9.11

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 4 = 0$

Étape 4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$