Algèbre Exemples

$\frac{x}{x - 8} + \frac{6}{x - 2} = \frac{x^{2}}{x^{2} - 10 x + 16}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{x^{2} - 10 x + 16}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{x - 8} + \frac{6}{x - 2} - \frac{x^{2}}{x^{2} - 10 x + 16} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x - 8} + \frac{6}{x - 2} - \frac{x^{2}}{x^{2} - 10 x + 16}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 10 x + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 8, - 2$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x}{x - 8} + \frac{6}{x - 2} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x}{x - 8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 8} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{6}{x - 2} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{6}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x}{x - 8} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{6}{x - 2} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 8) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{x}{x - 8}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x - 8) (x - 2)} + \frac{6}{x - 2} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{6}{x - 2}$ par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x - 8) (x - 2)} + \frac{6 (x - 8)}{(x - 2) (x - 8)} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 8) (x - 2)$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x - 2) (x - 8)} + \frac{6 (x - 8)}{(x - 2) (x - 8)} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 2) + 6 (x - 8)}{(x - 2) (x - 8)} - \frac{x^{2}}{(x - 8) (x - 2)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 2) + 6 (x - 8) - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 6 (x - 8) - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 6 (x - 8) - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.7.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 6 (x - 8) - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 2 x + 6 x + 6 \cdot - 8 - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.7.5

Multipliez $6$ par $- 8$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 6 x - 48 - x^{2}}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.8

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 2 x + 6 x - 48 - x^{2}$ .

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Étape 2.8.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 6 x - 48 + 0}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.8.2

Additionnez $- 2 x + 6 x - 48$ et $0$ .

$\frac{- 2 x + 6 x - 48}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.9

Additionnez $- 2 x$ et $6 x$ .

$\frac{4 x - 48}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 48$ .

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Étape 2.10.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{4 (x) - 48}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.10.2

Factorisez $4$ à partir de $- 48$ .

$\frac{4 x + 4 \cdot - 12}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 2.10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot - 12$ .

$\frac{4 (x - 12)}{(x - 2) (x - 8)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (x - 12) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 12) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 12) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x - 12)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x - 12)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $x - 12$ par $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{4}$

Étape 4.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x - 12 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$