Algèbre Exemples

$\sqrt{x} = x - 20$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x} - x = - 20$

Étape 1.2

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x} - x + 20 = 0$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - x + 20 = 0$

Étape 3

Réécrivez $x$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 20 = 0$

Étape 4

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$u - u^{2} + 20 = 0$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- u^{2} + u + 20 = 0$

Étape 5.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 5.2.1

Multipliez par $1$ .

$- u^{2} + 1 u + 20 = 0$

Étape 5.2.2

Réécrivez $1$ comme $- 4$ plus $5$

$- u^{2} + (- 4 + 5) u + 20 = 0$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- u^{2} - 4 u + 5 u + 20 = 0$

Étape 5.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- u^{2} - 4 u) + 5 u + 20 = 0$

Étape 5.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (- u - 4) - 5 (- u - 4) = 0$

Étape 5.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 4$ .

$(- u - 4) (u - 5) = 0$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{\frac{1}{2}} - 4$ .

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$(- (x^{\frac{1}{2}}) - 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Étape 7.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$(- (x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{\frac{1}{2}}) - 1 (4)$ .

$- (x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Étape 9

Définissez $x^{\frac{1}{2}} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}} + 4$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{2}} = - 4$

Étape 9.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 9.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 4)}^{2}$

Étape 9.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 4)}^{2}$

Étape 9.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = 16$

Étape 10

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 5$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{2}} = 5$

Étape 10.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Étape 10.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 10.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Étape 10.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Étape 10.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 5^{2}$

Étape 10.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 5^{2}$

Étape 10.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = 25$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$ vraie.

$x = 16, 25$

Étape 12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $- (x^{\frac{1}{2}} + 4) (x^{\frac{1}{2}} - 5) = 0$ vrai.

$x = 25$