Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{8}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{7} - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{4 (2)}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}$

Étape 4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{7}}^{2} - 2 \sqrt{14} + 2 \sqrt{14} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{- 1}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Étape 4.4.2

Réécrivez $- 1 \cdot ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$ comme $- ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$ .

$- ((\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Étape 5

Développez $(\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 6.1.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$- (\sqrt{49} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 6.1.3

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$- (\sqrt{7^{2}} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- (7 + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 6.1.5

Multipliez $\sqrt{7} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (7 - 2 \sqrt{7 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{2} \sqrt{7} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 2 \sqrt{2} \sqrt{7}$ .

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Étape 6.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{7 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 6.1.6.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 6.1.7

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1.7.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2})$

Étape 6.1.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}))$

Étape 6.1.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}))$

Étape 6.1.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1})$

Étape 6.1.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 {\sqrt{2}}^{2})$

Étape 6.1.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Étape 6.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Étape 6.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Étape 6.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})$

Étape 6.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2^{1})$

Étape 6.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 4 \cdot 2)$

Étape 6.1.9

Multipliez $4$ par $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14} + 8)$

Étape 6.2

Additionnez $7$ et $8$ .

$- (15 - 2 \sqrt{14} - 2 \sqrt{14})$

Étape 6.3

Soustrayez $2 \sqrt{14}$ de $- 2 \sqrt{14}$ .

$- (15 - 4 \sqrt{14})$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 15 - (- 4 \sqrt{14})$

Étape 8

Multipliez.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$- 15 - (- 4 \sqrt{14})$

Étape 8.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 15 + 4 \sqrt{14}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 15 + 4 \sqrt{14}$

Forme décimale :

$- 0.03337045 \dots$