Algèbre Exemples

$\frac{3}{x^{2} - x - 6} + \frac{2}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{2}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{2}{(x + 1) (x + 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3}{(x - 3) (x + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 5)}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 5)} + \frac{2}{(x + 1) (x + 5)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{2}{(x + 1) (x + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{3}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 5)} + \frac{2}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x + 2) (x + 1) (x + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3}{(x - 3) (x + 2)}$ par $\frac{(x + 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 5)}$ .

$\frac{3 ((x + 1) (x + 5))}{(x - 3) (x + 2) ((x + 1) (x + 5))} + \frac{2}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{(x + 1) (x + 5)}$ par $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{3 ((x + 1) (x + 5))}{(x - 3) (x + 2) ((x + 1) (x + 5))} + \frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{(x + 1) (x + 5) ((x - 3) (x + 2))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 2) ((x + 1) (x + 5))$ .

$\frac{3 ((x + 1) (x + 5))}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)} + \frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{(x + 1) (x + 5) ((x - 3) (x + 2))}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) (x + 5) ((x - 3) (x + 2))$ .

$\frac{3 ((x + 1) (x + 5))}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)} + \frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 ((x + 1) (x + 5)) + 2 ((x - 3) (x + 2))}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 3 \cdot 1) (x + 5) + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(3 x + 3) (x + 5) + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.3

Développez $(3 x + 3) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (x + 5) + 3 (x + 5) + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 3 (x + 5) + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 15 x + 3 x + 3 \cdot 5 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 15 x + 3 x + 15 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.4.2

Additionnez $15 x$ et $3 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 (x - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + (2 x + 2 \cdot - 3) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + (2 x - 6) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.7

Développez $(2 x - 6) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x (x + 2) - 6 (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 6 (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 6 x - 6 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.8.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 - 6 x - 6 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.8.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 6 x - 6 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.8.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x^{2} + 4 x - 6 x - 6 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.8.1.3

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x^{2} + 4 x - 6 x - 12}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.8.2

Soustrayez $6 x$ de $4 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 x + 15 + 2 x^{2} - 2 x - 12}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.9

Additionnez $3 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 18 x + 15 - 2 x - 12}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.10

Soustrayez $2 x$ de $18 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 16 x + 15 - 12}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.11

Soustrayez $12$ de $15$ .

$\frac{5 x^{2} + 16 x + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.12

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.12.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 3 = 15$ et dont la somme est $b = 16$ .

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Étape 6.12.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 16 (x) + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.12.1.2

Réécrivez $16$ comme $1$ plus $15$

$\frac{5 x^{2} + (1 + 15) x + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} + 1 x + 15 x + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.12.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{5 x^{2} + x + 15 x + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.12.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.12.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 x^{2} + x) + 15 x + 3}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.12.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (5 x + 1) + 3 (5 x + 1)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$

Étape 6.12.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x + 1$ .

$\frac{(5 x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 2) (x + 5) (x - 3)}$