Algèbre Exemples

${(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$(x + y) (x + y) {(x - y)}^{2}$

Étape 2

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x + y) + y (x + y)) {(x - y)}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x y + y (x + y)) {(x - y)}^{2}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) {(x - y)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x y + y x + y \cdot y) {(x - y)}^{2}$

Étape 3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(x^{2} + x y + y x + y^{2}) {(x - y)}^{2}$

Étape 3.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 3.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$(x^{2} + x y + x y + y^{2}) {(x - y)}^{2}$

Étape 3.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) {(x - y)}^{2}$

Étape 4

Réécrivez ${(x - y)}^{2}$ comme $(x - y) (x - y)$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) ((x - y) (x - y))$

Étape 5

Développez $(x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x (x - y) - y (x - y))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x \cdot x + x (- y) - y (x - y))$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y))$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y))$

Étape 6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - x y - y x - y (- y))$

Étape 6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y)$

Étape 6.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.4.1

Déplacez $y$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y))$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2})$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2})$

Étape 6.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Étape 6.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

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Étape 6.2.1

Déplacez $y$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2})$

Étape 6.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Étape 7

Développez $(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - 2 x y + y^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x y) + x^{2} y^{2} + 2 x y x^{2} + 2 x y (- 2 x y) + 2 x y \cdot y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} (- 2 x y) + y^{2} y^{2}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x y) + x^{2} y^{2} + 2 x y x^{2} + 2 x y (- 2 x y) + 2 x y \cdot y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} (- 2 x y) + y^{2} y^{2}$ .

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Étape 8.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x^{2} (- 2 x y)$ et $2 x y x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} - 2 x^{2} x y + x^{2} y^{2} + 2 x^{2} x y + 2 x y (- 2 x y) + 2 x y \cdot y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} (- 2 x y) + y^{2} y^{2}$

Étape 8.1.2

Additionnez $- 2 x^{2} x y$ et $2 x^{2} x y$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + 0 + 2 x y (- 2 x y) + 2 x y \cdot y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} (- 2 x y) + y^{2} y^{2}$

Étape 8.1.3

Additionnez $x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2}$ et $0$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + 2 x y (- 2 x y) + 2 x y \cdot y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} (- 2 x y) + y^{2} y^{2}$

Étape 8.1.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x y \cdot y^{2}$ et $y^{2} (- 2 x y)$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + 2 x y (- 2 x y) + 2 y^{2} x y + y^{2} x^{2} - 2 y^{2} x y + y^{2} y^{2}$

Étape 8.1.5

Soustrayez $2 y^{2} x y$ de $2 y^{2} x y$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + 2 x y (- 2 x y) + y^{2} x^{2} + 0 + y^{2} y^{2}$

Étape 8.1.6

Additionnez $x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + 2 x y (- 2 x y) + y^{2} x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + 2 x y (- 2 x y) + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + 2 x y (- 2 x y) + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 8.2.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + 2 x y (- 2 x y) + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 8.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + 2 (x \cdot x) y (- 2 y) + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + 2 x^{2} y (- 2 y) + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 8.2.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.3.1

Déplacez $y$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + 2 x^{2} (y \cdot y) \cdot - 2 + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} + 2 x^{2} y^{2} \cdot - 2 + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 8.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} - 4 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 8.2.5

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + x^{2} y^{2} - 4 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2}$

Étape 8.2.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} y^{2} - 4 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4}$

Étape 8.3

Soustrayez $4 x^{2} y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4}$

Étape 9

Additionnez $- 3 x^{2} y^{2}$ et $y^{2} x^{2}$ .

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Étape 9.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4}$

Étape 9.2

Additionnez $- 3 x^{2} y^{2}$ et $x^{2} y^{2}$ .

$x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$