Algèbre Exemples

$\frac{1}{1 - x} + \frac{x}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{1 - x} + \frac{x}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{1 - x} + \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{1}{1 - x} + \frac{x}{(x + 1) (- 1 (- x) - 1)}$

Étape 2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{1 - x} + \frac{x}{(x + 1) (- 1 (- x) - 1 (1))}$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$\frac{1}{1 - x} + \frac{x}{(x + 1) (- 1 (- x + 1))}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{x}{(x + 1) (- 1 (- x + 1))}$ au numérateur.

$\frac{1}{1 - x} + \frac{- x}{(x + 1) (- x + 1)}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{- x + 1} + \frac{- x}{(x + 1) (- x + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{1}{- x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{- x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{- x}{(x + 1) (- x + 1)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- x + 1) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{- x + 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{(- x + 1) (x + 1)} + \frac{- x}{(x + 1) (- x + 1)}$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) (- x + 1)$ .

$\frac{x + 1}{(- x + 1) (x + 1)} + \frac{- x}{(- x + 1) (x + 1)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 1 - x}{(- x + 1) (x + 1)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1}{(- x + 1) (x + 1)}$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{(- x + 1) (x + 1)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{1}{(- (x) + 1) (x + 1)}$

Étape 7.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{1}{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 1)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{1}{- (x - 1) (x + 1)}$

Étape 7.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{1}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{(x - 1) (x + 1)}$