Algèbre Exemples

$\frac{\frac{x + 5}{x} - \frac{8}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x (x - 1)$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{x + 5}{x} - \frac{8}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$ par $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} \cdot \frac{\frac{x + 5}{x} - \frac{8}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{x (x - 1) (\frac{x + 5}{x} - \frac{8}{x - 1})}{x (x - 1) (\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x - 1})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 1) \frac{x + 5}{x} + x (x - 1) (- \frac{8}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 1) \frac{x + 5}{x} + x (x - 1) (- \frac{8}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x + 5) + x (x - 1) (- \frac{8}{x - 1})}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{x - 1}$ dans le numérateur.

$\frac{(x - 1) (x + 5) + x (x - 1) \frac{- 8}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.2.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $x (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 5) + (x - 1) x \frac{- 8}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 5) + (x - 1) x \frac{- 8}{x - 1}}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x + 5) + x \cdot - 8}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 5) + x \cdot - 8}{x (x - 1) \frac{x + 1}{x} + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x + 5) + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + x (x - 1) \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 5) + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + (x - 1) x \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 5) + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + (x - 1) x \frac{x + 1}{x - 1}}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x + 5) + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(x - 1) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 5) - 1 (x + 5) + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 (x + 5) + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5 + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5 + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 5 + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - x - 1 \cdot 5 + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - x - 5 + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x$ de $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 5 + x \cdot - 8}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.3

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 5 - 8 \cdot x}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.4

Soustrayez $8 x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 4.5

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 4.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x - 1) (x + 1) + x (x + 1)$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1) + x (x + 1)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $x (x + 1)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1) + (x + 1) x}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1) + (x + 1) x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1 + x)}$

Étape 5.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 5}{2 x - 1}$