Algèbre Exemples

$\frac{2 a + 1}{10 a - 5} \div \frac{10 a}{4 a^{2} - 1}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{2 a + 1}{10 a - 5} \cdot \frac{4 a^{2} - 1}{10 a}$

Étape 2

Factorisez $5$ à partir de $10 a - 5$ .

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Étape 2.1

Factorisez $5$ à partir de $10 a$ .

$\frac{2 a + 1}{5 (2 a) - 5} \cdot \frac{4 a^{2} - 1}{10 a}$

Étape 2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{2 a + 1}{5 (2 a) + 5 (- 1)} \cdot \frac{4 a^{2} - 1}{10 a}$

Étape 2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (2 a) + 5 (- 1)$ .

$\frac{2 a + 1}{5 (2 a - 1)} \cdot \frac{4 a^{2} - 1}{10 a}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $4 a^{2}$ comme ${(2 a)}^{2}$ .

$\frac{2 a + 1}{5 (2 a - 1)} \cdot \frac{{(2 a)}^{2} - 1}{10 a}$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 a + 1}{5 (2 a - 1)} \cdot \frac{{(2 a)}^{2} - 1^{2}}{10 a}$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 a$ et $b = 1$ .

$\frac{2 a + 1}{5 (2 a - 1)} \cdot \frac{(2 a + 1) (2 a - 1)}{10 a}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2 a - 1$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2 a - 1$ à partir de $5 (2 a - 1)$ .

$\frac{2 a + 1}{(2 a - 1) \cdot 5} \cdot \frac{(2 a + 1) (2 a - 1)}{10 a}$

Étape 4.2

Factorisez $2 a - 1$ à partir de $(2 a + 1) (2 a - 1)$ .

$\frac{2 a + 1}{(2 a - 1) \cdot 5} \cdot \frac{(2 a - 1) (2 a + 1)}{10 a}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a + 1}{(2 a - 1) \cdot 5} \cdot \frac{(2 a - 1) (2 a + 1)}{10 a}$

Étape 4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a + 1}{5} \cdot \frac{2 a + 1}{10 a}$

Étape 5

Multipliez $\frac{2 a + 1}{5}$ par $\frac{2 a + 1}{10 a}$ .

$\frac{(2 a + 1) (2 a + 1)}{5 (10 a)}$

Étape 6

Élevez $2 a + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(2 a + 1)}^{1} (2 a + 1)}{5 (10 a)}$

Étape 7

Élevez $2 a + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(2 a + 1)}^{1} {(2 a + 1)}^{1}}{5 (10 a)}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(2 a + 1)}^{1 + 1}}{5 (10 a)}$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(2 a + 1)}^{2}}{5 (10 a)}$

Étape 10

Multipliez $10$ par $5$ .

$\frac{{(2 a + 1)}^{2}}{50 a}$

Étape 11

Réécrivez ${(2 a + 1)}^{2}$ comme $(2 a + 1) (2 a + 1)$ .

$\frac{(2 a + 1) (2 a + 1)}{50 a}$

Étape 12

Développez $(2 a + 1) (2 a + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (2 a + 1) + 1 (2 a + 1)}{50 a}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (2 a) + 2 a \cdot 1 + 1 (2 a + 1)}{50 a}$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (2 a) + 2 a \cdot 1 + 1 (2 a) + 1 \cdot 1}{50 a}$

Étape 13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot 2 a \cdot a + 2 a \cdot 1 + 1 (2 a) + 1 \cdot 1}{50 a}$

Étape 13.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{2 \cdot 2 (a \cdot a) + 2 a \cdot 1 + 1 (2 a) + 1 \cdot 1}{50 a}$

Étape 13.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{2 \cdot 2 a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1 (2 a) + 1 \cdot 1}{50 a}$

Étape 13.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1 (2 a) + 1 \cdot 1}{50 a}$

Étape 13.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{4 a^{2} + 2 a + 1 (2 a) + 1 \cdot 1}{50 a}$

Étape 13.1.5

Multipliez $2 a$ par $1$ .

$\frac{4 a^{2} + 2 a + 2 a + 1 \cdot 1}{50 a}$

Étape 13.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{4 a^{2} + 2 a + 2 a + 1}{50 a}$

Étape 13.2

Additionnez $2 a$ et $2 a$ .

$\frac{4 a^{2} + 4 a + 1}{50 a}$

Étape 14

Divisez la fraction $\frac{4 a^{2} + 4 a + 1}{50 a}$ en deux fractions.

$\frac{4 a^{2} + 4 a}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 15

Divisez la fraction $\frac{4 a^{2} + 4 a}{50 a}$ en deux fractions.

$\frac{4 a^{2}}{50 a} + \frac{4 a}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 16

Annulez le facteur commun à $4$ et $50$ .

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Étape 16.1

Factorisez $2$ à partir de $4 a^{2}$ .

$\frac{2 (2 a^{2})}{50 a} + \frac{4 a}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $50 a$ .

$\frac{2 (2 a^{2})}{2 (25 a)} + \frac{4 a}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 a^{2})}{2 (25 a)} + \frac{4 a}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a^{2}}{25 a} + \frac{4 a}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 17

Annulez le facteur commun à $a^{2}$ et $a$ .

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Étape 17.1

Factorisez $a$ à partir de $2 a^{2}$ .

$\frac{a (2 a)}{25 a} + \frac{4 a}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.2.1

Factorisez $a$ à partir de $25 a$ .

$\frac{a (2 a)}{a \cdot 25} + \frac{4 a}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (2 a)}{a \cdot 25} + \frac{4 a}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a}{25} + \frac{4 a}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 18

Annulez le facteur commun à $4$ et $50$ .

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Étape 18.1

Factorisez $2$ à partir de $4 a$ .

$\frac{2 a}{25} + \frac{2 (2 a)}{50 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $50 a$ .

$\frac{2 a}{25} + \frac{2 (2 a)}{2 (25 a)} + \frac{1}{50 a}$

Étape 18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a}{25} + \frac{2 (2 a)}{2 (25 a)} + \frac{1}{50 a}$

Étape 18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a}{25} + \frac{2 a}{25 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 19

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 19.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a}{25} + \frac{2 a}{25 a} + \frac{1}{50 a}$

Étape 19.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 a}{25} + \frac{2}{25} + \frac{1}{50 a}$