Algèbre Exemples

$\sqrt{x + 2} \leq x - 10$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x + 2}}^{2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(x - 10)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 2)}^{1} \leq {(x - 10)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$x + 2 \leq {(x - 10)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(x - 10)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(x - 10)}^{2}$ comme $(x - 10) (x - 10)$ .

$x + 2 \leq (x - 10) (x - 10)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(x - 10) (x - 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 \leq x (x - 10) - 10 (x - 10)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 \leq x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 \leq x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 2 \leq x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Étape 2.3.1.3.1.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $x$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $- 10$ par $- 10$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

Étape 2.3.1.3.2

Soustrayez $10 x$ de $- 10 x$ .

$x + 2 \leq x^{2} - 20 x + 100$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$x^{2} - 20 x + 100 \geq x + 2$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 20 x + 100 - x \geq 2$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x$ de $- 20 x$ .

$x^{2} - 21 x + 100 \geq 2$

Étape 3.3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 21 x + 100 = 2$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 21 x + 100 - 2 = 0$

Étape 3.5

Soustrayez $2$ de $100$ .

$x^{2} - 21 x + 98 = 0$

Étape 3.6

Factorisez $x^{2} - 21 x + 98$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $98$ et dont la somme est $- 21$ .

$- 14, - 7$

Étape 3.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 14) (x - 7) = 0$

Étape 3.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 3.8

Définissez $x - 14$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x - 14$ égal à $0$ .

$x - 14 = 0$

Étape 3.8.2

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 14$

Étape 3.9

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.9.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 3.9.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 14) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = 14, 7$

Étape 4

Déterminez le domaine de $\sqrt{x + 2} - x + 10$ .

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Étape 4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 2 \geq 0$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 2$

Étape 4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 2, \infty)$

Étape 5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq 14$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \geq 14$

Notation d’intervalle :

$[14, \infty)$

Étape 7