Algèbre Exemples

$\log_{4} (m - 3) + \log_{4} (m + 3) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ((m - 3) (m + 3)) = 2$

Étape 1.2

Développez $(m - 3) (m + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{4} (m (m + 3) - 3 (m + 3)) = 2$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{4} (m \cdot m + m \cdot 3 - 3 (m + 3)) = 2$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{4} (m \cdot m + m \cdot 3 - 3 m - 3 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Associez les termes opposés dans $m \cdot m + m \cdot 3 - 3 m - 3 \cdot 3$ .

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Étape 1.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $m \cdot 3$ et $- 3 m$ .

$\log_{4} (m \cdot m + 3 m - 3 m - 3 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.1.2

Soustrayez $3 m$ de $3 m$ .

$\log_{4} (m \cdot m + 0 - 3 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.1.3

Additionnez $m \cdot m$ et $0$ .

$\log_{4} (m \cdot m - 3 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $m$ par $m$ .

$\log_{4} (m^{2} - 3 \cdot 3) = 2$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\log_{4} (m^{2} - 9) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log_{4} (m^{2} - 9) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{2} = m^{2} - 9$

Étape 3

Résolvez $m$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $m^{2} - 9 = 4^{2}$ .

$m^{2} - 9 = 4^{2}$

Étape 3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$m^{2} - 9 = 16$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $m$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$m^{2} = 16 + 9$

Étape 3.3.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$m^{2} = 25$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$m = \pm \sqrt{25}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$m = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$m = \pm 5$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$m = 5$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$m = - 5$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$m = 5, - 5$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{4} (m - 3) + \log_{4} (m + 3) = 2$ vrai.

$m = 5$