Algèbre Exemples

$\log_{7} (n) = \frac{2}{3} \cdot \log_{7} (8)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $\log_{7} (8)$ .

$\log_{7} (n) = \frac{2 \log_{7} (8)}{3}$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{7} (n) - \frac{2 \log_{7} (8)}{3} = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Réécrivez $\log_{7} (8)$ comme $\log_{7} (2^{3})$ .

$\log_{7} (n) - \frac{2 \log_{7} (2^{3})}{3} = 0$

Étape 3.2

Développez $\log_{7} (2^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$\log_{7} (n) - \frac{2 (3 \log_{7} (2))}{3} = 0$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{7} (n) - \frac{2 (3 \log_{7} (2))}{3} = 0$

Étape 3.3.2

Divisez $2 (\log_{7} (2))$ par $1$ .

$\log_{7} (n) - (2 (\log_{7} (2))) = 0$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\log_{7} (n) - 2 \log_{7} (2) = 0$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Simplifiez $\log_{7} (n) - 2 \log_{7} (2)$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Simplifiez $- 2 \log_{7} (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{7} (n) - \log_{7} (2^{2}) = 0$

Étape 4.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\log_{7} (n) - \log_{7} (4) = 0$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{n}{4}) = 0$

Étape 5

Réécrivez $\log_{7} (\frac{n}{4}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{n}{4}$

Étape 6

Résolvez $n$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{n}{4} = 7^{0}$ .

$\frac{n}{4} = 7^{0}$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{n}{4} = 4 \cdot 7^{0}$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{n}{4} = 4 \cdot 7^{0}$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$n = 4 \cdot 7^{0}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez $4 \cdot 7^{0}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$n = 4 \cdot 1$

Étape 6.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$n = 4$