Algèbre Exemples

$\frac{4}{x^{3}} - \frac{2 x - 1}{3 x}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{4}{x^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x - 1}{3 x}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{2 x - 1}{3 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{4}{x^{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{2 x - 1}{3 x}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x \cdot x^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 (x^{2} x)}$

Étape 3.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 (x^{2} x^{1})}$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{2 + 1}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $x^{3} \cdot 3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3 x^{3}} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 3 - (2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 - (2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 + (- (2 x) - - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{12 + (- 2 x - - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{12 + (- 2 x + 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 - 2 x \cdot x^{2} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{12 - 2 (x^{2} x) + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 - 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 - 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{12 - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{12 - 2 x^{3} + x^{2}}{3 x^{3}}$

Étape 5.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 12}{3 x^{3}}$

Étape 5.9

Factorisez $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.9.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 5.9.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Étape 5.9.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.9.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$- 2 \cdot 2^{3} + 2^{2} + 12$

Étape 5.9.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 2^{2} + 12$

Étape 5.9.3.3

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$- 16 + 2^{2} + 12$

Étape 5.9.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 16 + 4 + 12$

Étape 5.9.3.5

Additionnez $- 16$ et $4$ .

$- 12 + 12$

Étape 5.9.3.6

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

Étape 5.9.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 12}{x - 2}$

Étape 5.9.5

Divisez $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ par $x - 2$ .

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Étape 5.9.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$12$

Étape 5.9.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

Étape 5.9.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 5.9.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 5.9.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Étape 5.9.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 5.9.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 5.9.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 5.9.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} + 6 x$

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 5.9.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Étape 5.9.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 5.9.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 5.9.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 5.9.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x + 12$

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Étape 5.9.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Étape 5.9.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 2 x^{2} - 3 x - 6$

Étape 5.9.6

Écrivez $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ comme un ensemble de facteurs.

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x - 6)}{3 x^{3}}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2}) - 3 x - 6)}{3 x^{3}}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2}) - (3 x) - 6)}{3 x^{3}}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - (3 x)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x) - 6)}{3 x^{3}}$

Étape 6.4

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (6))}{3 x^{3}}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (6)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x + 6))}{3 x^{3}}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Réécrivez $- (2 x^{2} + 3 x + 6)$ comme $- 1 (2 x^{2} + 3 x + 6)$ .

$\frac{(x - 2) (- 1 (2 x^{2} + 3 x + 6))}{3 x^{3}}$

Étape 6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x - 2) (2 x^{2} + 3 x + 6)}{3 x^{3}}$