Algèbre Exemples

$2 \ln (e^{\ln (2 x)}) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\ln (2 x)$ de l’exposant.

$2 (\ln (2 x) \ln (e)) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Étape 1.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 (\ln (2 x) \cdot 1) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Étape 1.3

Multipliez $\ln (2 x)$ par $1$ .

$2 \ln (2 x) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

Étape 1.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\ln (10 x)$ de l’exposant.

$2 \ln (2 x) - (\ln (10 x) \ln (e)) = \ln (30)$

Étape 1.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 \ln (2 x) - (\ln (10 x) \cdot 1) = \ln (30)$

Étape 1.6

Multipliez $\ln (10 x)$ par $1$ .

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) = \ln (30)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $2 \ln (2 x) - \ln (10 x) - \ln (30)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (2 x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({(2 x)}^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\ln (2^{2} x^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Étape 3.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\ln (4 x^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 x^{2}}{10 x}) - \ln (30) = 0$

Étape 3.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{4 x^{2}}{10 x}}{30}) = 0$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{10 x}}{30}) = 0$

Étape 3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x$ .

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (5 x)}}{30}) = 0$

Étape 3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (5 x)}}{30}) = 0$

Étape 3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{\frac{2 x^{2}}{5 x}}{30}) = 0$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{5 x}}{30}) = 0$

Étape 3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{x \cdot 5}}{30}) = 0$

Étape 3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{x \cdot 5}}{30}) = 0$

Étape 3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{\frac{2 x}{5}}{30}) = 0$

Étape 3.1.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{2 x}{5} \cdot \frac{1}{30}) = 0$

Étape 3.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\ln (\frac{2 (x)}{5} \cdot \frac{1}{30}) = 0$

Étape 3.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\ln (\frac{2 (x)}{5} \cdot \frac{1}{2 (15)}) = 0$

Étape 3.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{2 x}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 15}) = 0$

Étape 3.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{15}) = 0$

Étape 3.1.8

Multipliez $\frac{x}{5}$ par $\frac{1}{15}$ .

$\ln (\frac{x}{5 \cdot 15}) = 0$

Étape 3.1.9

Multipliez $5$ par $15$ .

$\ln (\frac{x}{75}) = 0$

Étape 4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{x}{75})} = e^{0}$

Étape 5

Réécrivez $\ln (\frac{x}{75}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x}{75}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x}{75} = e^{0}$ .

$\frac{x}{75} = e^{0}$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $75$ .

$75 \frac{x}{75} = 75 e^{0}$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $75$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$75 \frac{x}{75} = 75 e^{0}$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 75 e^{0}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez $75 e^{0}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x = 75 \cdot 1$

Étape 6.3.2.1.2

Multipliez $75$ par $1$ .

$x = 75$