Algèbre Exemples

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Étape 1

Déterminez si la fonction est impaire, paire ou ni l’un ni l’autre pour déterminer la symétrie.

1. S’il est impair, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

2. S’il est pair, la fonction est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x - h)}^{2}$ comme $(x - h) (x - h)$ .

$f (x) = a ((x - h) (x - h)) + k$

Étape 2.2

Développez $(x - h) (x - h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a (x (x - h) - h (x - h)) + k$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + k$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + k$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + k$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.4.1

Déplacez $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + k$

Étape 2.3.1.4.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + k$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + k$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $h^{2}$ par $1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + k$

Étape 2.3.2

Soustrayez $h x$ de $- x h$ .

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Étape 2.3.2.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + k$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $h x$ de $- h x$ .

$f (x) = a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + k$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + k$

Étape 2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$

Étape 3

Déterminez $f (- x)$ .

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Étape 3.1

Déterminez $f (- x)$ en remplaçant $- x$ pour toutes les occurrences de $x$ dans $f (x)$ .

$f (- x) = a {(- x)}^{2} - 2 a h (- x) + a h^{2} + k$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = a ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 2 a h (- x) + a h^{2} + k$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (- x) = {(- 1)}^{2} a x^{2} - 2 a h (- x) + a h^{2} + k$

Étape 3.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = 1 a x^{2} - 2 a h (- x) + a h^{2} + k$

Étape 3.2.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$f (- x) = a x^{2} - 2 a h (- x) + a h^{2} + k$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- x) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + k$

Étape 4

Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ .

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Étape 4.1

Vérifiez si $f (- x) = f (x)$ .

Étape 4.2

Comme $a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + k$ $\neq$ $a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$ , la fonction n’est pas paire.

La fonction n’est pas paire

Étape 5

Une fonction est impaire si $f (- x) = - f (x)$ .

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Étape 5.1

Déterminez $- f (x)$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$ par $- 1$ .

$- f (x) = - (a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k)$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- f (x) = - (a x^{2}) - (- 2 a h x) - (a h^{2}) - k$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- f (x) = - a x^{2} + 2 (a h x) - a h^{2} - k$

Étape 5.1.4

Supprimez les parenthèses.

$- f (x) = - a x^{2} + 2 a h x - a h^{2} - k$

Étape 5.2

Comme $a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + k$ $\neq$ $- a x^{2} + 2 a h x - a h^{2} - k$ , la fonction n’est pas impaire.

La fonction n’est pas impaire

Étape 6

La fonction n’est ni paire ni impaire

Étape 7

Comme la fonction n’est pas impaire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

Aucune symétrie par rapport à l’origine

Étape 8

Comme la fonction n’est pas paire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Aucune symétrie par rapport à l’ordonnée

Étape 9

Comme la fonction n’est ni impaire ni paire, il n’y a pas de symétrique par rapport à l’origine ni par rapport à l’ordonnée.

La fonction n’est pas symétrique

Étape 10