Algèbre Exemples

${(2 k^{2} + 1)}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2 k^{2})}^{2 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2 k^{2})}^{2 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2 k^{2})}^{2 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2 k^{2})}^{2 - 2} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2 k^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{0} + 2 \cdot {(2 k^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Déplacez ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(2 k^{2})}^{2} + 2 \cdot {(2 k^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.1.2

Multipliez ${(1)}^{0}$ par $1$ .

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Étape 4.1.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k^{2})}^{2} + 2 \cdot {(2 k^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1^{0 + 1} \cdot {(2 k^{2})}^{2} + 2 \cdot {(2 k^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$1^{1} \cdot {(2 k^{2})}^{2} + 2 \cdot {(2 k^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez $1^{1} \cdot {(2 k^{2})}^{2}$ .

${(2 k^{2})}^{2} + 2 \cdot {(2 k^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $2 k^{2}$ .

$2^{2} {(k^{2})}^{2} + 2 \cdot {(2 k^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(k^{2})}^{2} + 2 \cdot {(2 k^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.5

Multipliez les exposants dans ${(k^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 k^{2 \cdot 2} + 2 \cdot {(2 k^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 k^{4} + 2 \cdot {(2 k^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.6

Simplifiez

$4 k^{4} + 2 \cdot (2 k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 k^{4} + 4 k^{2} \cdot {(1)}^{1} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.8

Évaluez l’exposant.

$4 k^{4} + 4 k^{2} \cdot 1 + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 k^{4} + 4 k^{2} + 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 4.10

Multipliez $1$ par ${(1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.10.1

Déplacez ${(1)}^{2}$ .

$4 k^{4} + 4 k^{2} + {(1)}^{2} \cdot 1 \cdot {(2 k^{2})}^{0}$

Étape 4.10.2

Multipliez ${(1)}^{2}$ par $1$ .

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Étape 4.10.2.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$4 k^{4} + 4 k^{2} + {(1)}^{2} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k^{2})}^{0}$

Étape 4.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 k^{4} + 4 k^{2} + 1^{2 + 1} \cdot {(2 k^{2})}^{0}$

Étape 4.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 k^{4} + 4 k^{2} + 1^{3} \cdot {(2 k^{2})}^{0}$

Étape 4.11

Simplifiez $1^{3} \cdot {(2 k^{2})}^{0}$ .

$4 k^{4} + 4 k^{2} + 1^{3}$

Étape 4.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 k^{4} + 4 k^{2} + 1$