Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{2} \cdot (15 x) + 18}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot 15 x^{2} x + 18}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 \cdot 15 (x \cdot x^{2}) + 18}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cdot 15 (x^{1} x^{2}) + 18}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cdot 15 x^{1 + 2} + 18}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 15 x^{3} + 18}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 3

Multipliez $2$ par $15$ .

$\frac{30 x^{3} + 18}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 4

Factorisez $6$ à partir de $30 x^{3} + 18$ .

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Étape 4.1

Factorisez $6$ à partir de $30 x^{3}$ .

$\frac{6 (5 x^{3}) + 18}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 4.2

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$\frac{6 (5 x^{3}) + 6 (3)}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 4.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (5 x^{3}) + 6 (3)$ .

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 5

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{{(2 x)}^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{{(2 x)}^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 3$ .

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 8

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 3 (x) - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 8.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 3$ plus $6$

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 3 + 6) x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x + 6 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 3 x) + 6 x - 9}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{x (2 x - 3) + 3 (2 x - 3)}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{x^{2} + 3 x - 18}$

Étape 9

Factorisez $x^{2} + 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $3$ .

$- 3, 6$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 (5 x^{3} + 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 6)}$