Algèbre Exemples

$x^{\frac{4}{3}} = 81$

Étape 1

Soustrayez $81$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{4}{3}} - 81 = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{\frac{4}{3}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 81 = 0$

Étape 3

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 9^{2} = 0$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{\frac{2}{3}}$ et $b = 9$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{2}{3}} - 9) = 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $x^{\frac{2}{3}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) = 0$

Étape 5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 5.3

Factorisez.

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Étape 5.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{\frac{1}{3}}$ et $b = 3$ .

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) ((x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)) = 0$

Étape 5.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Étape 7

Définissez $x^{\frac{2}{3}} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{\frac{2}{3}} + 9$ égal à $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{2}{3}} = - 9$

Étape 7.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 7.2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.3.1.2

Simplifiez

$x = \pm {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = {(- 9)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 9)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 8

Définissez $x^{\frac{1}{3}} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x^{\frac{1}{3}} + 3$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Étape 8.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 8.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 8.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Étape 8.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 3)}^{3}$

Étape 8.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$x = - 27$

Étape 9

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x^{\frac{1}{3}} - 3$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

Étape 9.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 9.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Étape 9.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Étape 9.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 3^{3}$

Étape 9.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 3^{3}$

Étape 9.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x = 27$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) = 0$ vraie.

$x = {(- 9)}^{\frac{3}{2}}, - {(- 9)}^{\frac{3}{2}}, - 27, 27$

Étape 11

Excluez les solutions qui ne rendent pas $(x^{\frac{2}{3}} + 9) (x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) = 0$ vrai.

$x = - 27, 27$