Algèbre Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{4 x - 12}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{4 x - 12}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 x - 12} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 x - 12}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 3^{2}} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 x - 12} = 0$

Étape 2.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 x - 12} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 12$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 (x) - 12} = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 x + 4 \cdot - 3} = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot - 3$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 (x - 3)} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 (x - 3)} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{4 (x - 3)} = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{1}{x - 3}$ par $\frac{(x + 3) \cdot 4}{(x + 3) \cdot 4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - (\frac{1}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 4}{(x + 3) \cdot 4}) - \frac{1}{4 (x - 3)} = 0$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{1}{x - 3}$ par $\frac{(x + 3) \cdot 4}{(x + 3) \cdot 4}$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{(x + 3) \cdot 4}{(x - 3) ((x + 3) \cdot 4)} - \frac{1}{4 (x - 3)} = 0$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{1}{4 (x - 3)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{(x + 3) \cdot 4}{(x - 3) ((x + 3) \cdot 4)} - (\frac{1}{4 (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}) = 0$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{1}{4 (x - 3)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{(x + 3) \cdot 4}{(x - 3) ((x + 3) \cdot 4)} - \frac{x + 3}{4 (x - 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.2.7

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) ((x + 3) \cdot 4)$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{(x + 3) \cdot 4}{4 (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 3}{4 (x - 3) (x + 3)} = 0$

Étape 2.2.8

Réorganisez les facteurs de $4 (x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{x \cdot 4}{(x + 3) (x - 3) \cdot 4} - \frac{(x + 3) \cdot 4}{4 (x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 3}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \cdot 4 - (x + 3) \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 \cdot x - (x + 3) \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + (- x - 1 \cdot 3) \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4 x + (- x - 3) \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x - x \cdot 4 - 3 \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 4 x - 3 \cdot 4 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.6

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{4 x - 4 x - 12 - (x + 3)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x - 4 x - 12 - x - 1 \cdot 3}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4 x - 4 x - 12 - x - 3}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{0 - 12 - x - 3}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $12$ de $0$ .

$\frac{- 12 - x - 3}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.7

Soustrayez $3$ de $- 12$ .

$\frac{- x - 15}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 15}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$\frac{- (x) - 1 (15)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (15)$ .

$\frac{- (x + 15)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.11

Réécrivez $- (x + 15)$ comme $- 1 (x + 15)$ .

$\frac{- 1 (x + 15)}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 15}{4 (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 15 = 0$

Étape 4

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 15$