Algèbre Exemples

$x^{- 3} = \frac{1}{64}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{64}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{- 3} - \frac{1}{64} = 0$

Étape 2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{64} = 0$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{1^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{64} = 0$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1^{3}}{x^{3}}$ comme ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{64}$ comme ${(\frac{1}{4})}^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = \frac{1}{x}$ et $b = \frac{1}{4}$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) ({(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Étape 7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{4}$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x \cdot 4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Étape 7.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 \cdot x} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Étape 7.5

Multipliez $4$ par $x$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Étape 7.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Étape 7.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Étape 7.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 7.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 8

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$(\frac{1}{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 9

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot 4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{4}{4}$ .

$(\frac{4}{x \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{4}{x \cdot 4} - \frac{x}{4 x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 10.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 4$ .

$(\frac{4}{4 x} - \frac{x}{4 x}) (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{1}{4 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 12

Pour écrire $\frac{1}{4 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{1}{4 x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 13

Pour écrire $\frac{1}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{1}{4 x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4 x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{1}{4 x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 14.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 (x \cdot x)} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 14.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 (x \cdot x)} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 14.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{1 + 1}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 14.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 14.6

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{2}} + \frac{4}{x^{2} \cdot 4} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 14.7

Réorganisez les facteurs de $x^{2} \cdot 4$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x}{4 x^{2}} + \frac{4}{4 x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x + 4}{4 x^{2}} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 16

Pour écrire $\frac{x + 4}{4 x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x + 4}{4 x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 17

Pour écrire $\frac{1}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{x + 4}{4 x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Étape 18

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16 x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 18.1

Multipliez $\frac{x + 4}{4 x^{2}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{(x + 4) \cdot 4}{4 x^{2} \cdot 4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Étape 18.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{(x + 4) \cdot 4}{16 x^{2}} + \frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Étape 18.3

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot (\frac{(x + 4) \cdot 4}{16 x^{2}} + \frac{x^{2}}{16 x^{2}}) = 0$

Étape 19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{(x + 4) \cdot 4 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Étape 20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{x \cdot 4 + 4 \cdot 4 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Étape 20.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{4 \cdot x + 4 \cdot 4 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Étape 20.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{4 x + 16 + x^{2}}{16 x^{2}} = 0$

Étape 20.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$

Étape 21

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\frac{4 - x}{4 x} = 0$

$\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$

Étape 22

Définissez $\frac{4 - x}{4 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 22.1

Définissez $\frac{4 - x}{4 x}$ égal à $0$ .

$\frac{4 - x}{4 x} = 0$

Étape 22.2

Résolvez $\frac{4 - x}{4 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 22.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 - x = 0$

Étape 22.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 22.2.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 22.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 22.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 22.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 22.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 22.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 22.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 22.2.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 23

Définissez $\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 23.1

Définissez $\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}}$ égal à $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$

Étape 23.2

Résolvez $\frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 23.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 23.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 23.2.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 23.2.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3

Simplifiez

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Étape 23.2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.2.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 23.2.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 23.2.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 23.2.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 23.2.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 23.2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.2.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 23.2.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 23.2.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 23.2.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 23.2.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Étape 23.2.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 23.2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.2.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 23.2.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 23.2.2.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 23.2.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 23.2.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 23.2.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 23.2.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 24

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\frac{4 - x}{4 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 16}{16 x^{2}} = 0$ vraie.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$