Algèbre Exemples

$\frac{x + 2}{x^{2} - 9} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} = \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x + 2}{x^{2} - 9} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x + 2}{x^{2} - 9} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x + 2}{x^{2} - 3^{2}} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Étape 2.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 3} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 2.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 1)} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 1)} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Étape 2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{x^{2} + 4 x + 3} = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x^{2} + 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 2.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{x + 2}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} = 0$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) ((x + 3) (x - 3))} - (\frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}) = 0$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{2 x - 3}{(x + 1) (x + 3)}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) ((x + 3) (x - 3))} - \frac{(2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.2.7

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) ((x + 3) (x - 3))$ .

$\frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)} + \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 2) (x + 1) + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Développez $(x + 2) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) + 2 (x + 1) + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 (x + 1) + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 \cdot 1 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2 x + 2 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + (x + 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.3

Développez $(x + 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x (x - 3) + 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.4

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Étape 2.4.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 3$ et $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.4.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.4.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x \cdot x + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.5.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} + 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - (2 x - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 + (- (2 x) - - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 + (- 2 x - - 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.8

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 + (- 2 x + 3) (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.9

Développez $(- 2 x + 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x (x - 3) + 3 (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.10.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.10.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.10.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.10.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} + 6 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.10.1.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} + 6 x + 3 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.4.10.2

Additionnez $6 x$ et $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 9 - 2 x^{2} + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.5

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 2 - 9 - 2 x^{2} + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} + 3 x + 2 - 9 - 2 x^{2} + 9 x - 9$ .

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Étape 2.6.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2 - 9 + 0 + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.6.2

Additionnez $3 x + 2 - 9$ et $0$ .

$\frac{3 x + 2 - 9 + 9 x - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.7

Additionnez $3 x$ et $9 x$ .

$\frac{12 x + 2 - 9 - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $9$ de $2$ .

$\frac{12 x - 7 - 9}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.9

Soustrayez $9$ de $- 7$ .

$\frac{12 x - 16}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $4$ à partir de $12 x - 16$ .

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Étape 2.10.1

Factorisez $4$ à partir de $12 x$ .

$\frac{4 (3 x) - 16}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.10.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{4 (3 x) + 4 (- 4)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 2.10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 x) + 4 (- 4)$ .

$\frac{4 (3 x - 4)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (3 x - 4) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $4 (3 x - 4) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (3 x - 4) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (3 x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $3 x - 4$ par $1$ .

$3 x - 4 = \frac{0}{4}$

Étape 4.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$