Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x}{x - 5} = \frac{x + 5}{x - 5}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x + 5}{x - 5}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x}{x - 5} - \frac{x + 5}{x - 5} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x}{x - 5} - \frac{x + 5}{x - 5}$ .

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - (x + 5)}{x - 5} = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - x - 1 \cdot 5}{x - 5} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - x - 5}{x - 5} = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{0 - 5}{x - 5} = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $5$ de $0$ .

$\frac{x + 3}{x - 3} + \frac{- 5}{x - 5} = 0$

Étape 2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x + 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 5} = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $\frac{x + 3}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x + 3}{x - 3} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{x - 5} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $- \frac{5}{x - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x + 3}{x - 3} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{x - 5} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = 0$

Étape 2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x - 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $\frac{x + 3}{x - 3}$ par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5)}{(x - 3) (x - 5)} - \frac{5}{x - 5} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = 0$

Étape 2.8.2

Multipliez $\frac{5}{x - 5}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5)}{(x - 3) (x - 5)} - \frac{5 (x - 3)}{(x - 5) (x - 3)} = 0$

Étape 2.8.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 5) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5)}{(x - 3) (x - 5)} - \frac{5 (x - 3)}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 3) (x - 5) - 5 (x - 3)}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Développez $(x + 3) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 5) + 3 (x - 5) - 5 (x - 3)}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 + 3 (x - 5) - 5 (x - 3)}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 + 3 x + 3 \cdot - 5 - 5 (x - 3)}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 5 + 3 x + 3 \cdot - 5 - 5 (x - 3)}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.2.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 5 - 5 (x - 3)}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 3 x - 15 - 5 (x - 3)}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.2.2

Additionnez $- 5 x$ et $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 15 - 5 (x - 3)}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 2 x - 15 - 5 x - 5 \cdot - 3}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.4

Multipliez $- 5$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 15 - 5 x + 15}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.5

Soustrayez $5 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x - 15 + 15}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.6

Additionnez $- 15$ et $15$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 0}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.7

Additionnez $x^{2} - 7 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 7 x}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.8

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 7 x$ .

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Étape 2.10.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 7 x}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.8.2

Factorisez $x$ à partir de $- 7 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 7}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 2.10.8.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 7$ .

$\frac{x (x - 7)}{(x - 3) (x - 5)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x (x - 7) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 7) = 0$ vraie.

$x = 0, 7$