Algèbre Exemples

$x^{4} - 18 x^{2} + 81 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} - 18 u + 81 = 0$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$u^{2} - 18 u + 9^{2} = 0$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2} = 0$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 9$ .

${(u - 9)}^{2} = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

${(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Étape 5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

${(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Étape 7

Appliquez la règle de produit à $(x + 3) (x - 3)$ .

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 9

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 9.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 9.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 10

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 10.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 10.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 3, 3$