Algèbre Exemples

$\frac{28}{x^{2} - 9} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Étape 1

Pour écrire $\frac{28}{x^{2} - 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{28}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 x}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ .

$\frac{28}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{2} - 9) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{28}{x^{2} - 9}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{28 (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} + \frac{2 x}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{2 x}{x - 3}$ par $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ .

$\frac{28 (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} + \frac{2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 9) (x - 3)$ .

$\frac{28 (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Étape 5

Pour écrire $\frac{28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{6}{x + 3} = 0$

Étape 6

Pour écrire $\frac{6}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ .

$\frac{28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{6}{x + 3} \cdot \frac{(x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)} + \frac{6}{x + 3} \cdot \frac{(x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{6}{x + 3}$ par $\frac{(x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ .

$\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)} + \frac{6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 9))} = 0$

Étape 7.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)$ .

$\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 9))} = 0$

Étape 7.4

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 9))$ .

$\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} + \frac{6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9

Réécrivez $\frac{(28 (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)}$ en forme factorisée.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(28 x + 28 \cdot - 3 + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.1.2

Multipliez $28$ par $- 3$ .

$\frac{(28 x - 84 + 2 x (x^{2} - 9)) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(28 x - 84 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 9) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.1.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{(28 x - 84 + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 9) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 9.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(28 x - 84 + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 9) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(28 x - 84 + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 9) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(28 x - 84 + 2 x^{3} + 2 x \cdot - 9) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{(28 x - 84 + 2 x^{3} - 18 x) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $18 x$ de $28 x$ .

$\frac{(10 x - 84 + 2 x^{3}) (x + 3) + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.3

Développez $(10 x - 84 + 2 x^{3}) (x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{10 x \cdot x + 10 x \cdot 3 - 84 x - 84 \cdot 3 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 3 - 84 x - 84 \cdot 3 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{10 x^{2} + 10 x \cdot 3 - 84 x - 84 \cdot 3 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.4.2

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 84 \cdot 3 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.4.3

Multipliez $- 84$ par $3$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.4.4

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.4.4.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 9.4.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.4.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 3 + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.4.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{10 x^{2} + 30 x - 84 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.5

Soustrayez $84 x$ de $30 x$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 ((x - 3) (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.6

Développez $(x - 3) (x^{2} - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x (x^{2} - 9) - 3 (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 - 3 (x^{2} - 9))}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 9)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.7.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.7.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 9.7.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 9)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.7.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x^{1 + 2} + x \cdot - 9 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 9)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.7.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x^{3} + x \cdot - 9 - 3 x^{2} - 3 \cdot - 9)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.7.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $x$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x^{3} - 9 x - 3 x^{2} - 3 \cdot - 9)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.7.3

Multipliez $- 3$ par $- 9$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 (x^{3} - 9 x - 3 x^{2} + 27)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} + 6 (- 9 x) + 6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 27}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.9

Simplifiez

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Étape 9.9.1

Multipliez $- 9$ par $6$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 54 x + 6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 27}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.9.2

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 54 x - 18 x^{2} + 6 \cdot 27}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.9.3

Multipliez $6$ par $27$ .

$\frac{10 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 54 x - 18 x^{2} + 162}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.10

Soustrayez $18 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x^{2} - 54 x - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 54 x + 162}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.11

Soustrayez $54 x$ de $- 54 x$ .

$\frac{- 8 x^{2} - 252 + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 108 x + 162}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.12

Additionnez $- 252$ et $162$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{3} - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.13

Additionnez $6 x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 2 x^{4} + 12 x^{3} - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2} - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.15

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 12 x^{3} - 8 x^{2} - 108 x - 90$ .

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Étape 9.15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4}$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 12 x^{3} - 8 x^{2} - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.15.2

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) - 8 x^{2} - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.15.3

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 108 x - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.15.4

Factorisez $2$ à partir de $- 108 x$ .

$\frac{2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 54 x) - 90}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.15.5

Factorisez $2$ à partir de $- 90$ .

$\frac{2 x^{4} + 2 (6 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 \cdot - 45}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.15.6

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 2 (6 x^{3})$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 \cdot - 45}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.15.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 6 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2})$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 54 x) + 2 \cdot - 45}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.15.8

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 54 x)$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x) + 2 \cdot - 45}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.15.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x) + 2 \cdot - 45$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9)} = 0$

Étape 9.16

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 3^{2})} = 0$

Étape 9.17

Factorisez.

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Étape 9.17.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3))} = 0$

Étape 9.17.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x - 3) (x + 3) (x - 3)} = 0$

Étape 9.18

Associez les exposants.

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Étape 9.18.1

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x + 3) (x - 3) (x - 3)} = 0$

Étape 9.18.2

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{(x + 3) (x + 3) (x - 3) (x - 3)} = 0$

Étape 9.18.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3) (x - 3)} = 0$

Étape 9.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3) (x - 3)} = 0$

Étape 9.18.5

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} ((x - 3) (x - 3))} = 0$

Étape 9.18.6

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} ((x - 3) (x - 3))} = 0$

Étape 9.18.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{1 + 1}} = 0$

Étape 9.18.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 10

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45) = 0$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 11.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 11.1.2.1.2

Divisez $x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45$ par $1$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45 = \frac{0}{2}$

Étape 11.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45 = 0$

Étape 11.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 11.2.1

Regroupez les termes.

$6 x^{3} - 54 x + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Étape 11.2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3} - 54 x$ .

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) - 54 x + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Étape 11.2.2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 54 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 9) + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Étape 11.2.2.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 9)$ .

$6 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Étape 11.2.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$6 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Étape 11.2.4

Factorisez.

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Étape 11.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$6 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Étape 11.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Étape 11.2.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} - 45 = 0$

Étape 11.2.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 4 u - 45 = 0$

Étape 11.2.7

Factorisez $u^{2} - 4 u - 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 11.2.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 45$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 9, 5$

Étape 11.2.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 5) = 0$

Étape 11.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 11.2.9

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 11.2.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 11.2.11

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$ .

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Étape 11.2.11.1

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $6 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 11.2.11.2

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 x + x^{2} + 5) = 0$

Étape 11.2.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 u + u^{2} + 5) = 0$

Étape 11.2.13

Factorisez $6 u + u^{2} + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 11.2.13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 11.2.13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 3) (x - 3) ((u + 1) (u + 5)) = 0$

Étape 11.2.14

Factorisez.

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Étape 11.2.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x + 1) (x + 5)) = 0$

Étape 11.2.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x - 3) (x + 1) (x + 5) = 0$

Étape 11.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 11.4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 11.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 11.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 11.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 11.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 11.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 11.7

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.7.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 11.7.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 11.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) (x + 1) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3, - 1, - 5$

Étape 12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 (x^{4} + 6 x^{3} - 4 x^{2} - 54 x - 45)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}} = 0$ vrai.

$x = - 1, - 5$